Suunnattu derivaatta

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Suunnatun derivaatan idea kahden muuttujan funktiolla. Piste A sijaitsee -koordinaatistossa, jossa sen kautta on piirretty punaisen suoran avulla näkyviin suunta . Suoran kautta piirretään -akselin suuntainen taso, joka leikkaa funktion kuvaajaa esittävältä pinnalta keltaisen käyrän. Käyrää sivuaa tangentti pisteessä A' ja tangentin jyrkkyys vaakatasoon nähden on funktion suunnatun derivaatan suuruinen.

Suunnattu derivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta annetun vektorin suunnassa ja annetussa kohdassa. Muutosnopeuden suuruus voidaan parhaiten arvioida derivaatan avulla, joka määritellään niin, että tarkastelun suunta tulee huomioiduksi. Usean muuttujan funktion arvojen muutosnopeus muuttuu siirryttäessä eri suuntiin. Siksi erotukseksi yhden muuttujan funktioista, joilla on jokaisessa kohdassa yksi derivaatan arvo, usean muuttujan suunnatulla derivaatalla on jokaisessa pisteessä ääretön määrä derivaatan arvoja, jotka riippuvat tarkastelusuunnasta. Suunnatulla derivaatalla on sovelluksia enimmäkseen tieteen ja tekniikan aloilla.[1][2][3]

Yhden muuttujan reaalifunktiolla suunnattua derivaattaa vastaa toispuoleinen derivaatta, joka voidaan ottaa vasemmalta- tai oikealta puolelta tarkastelupistettä.

Johdanto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksinkertaisin usean muuttujan funktio on kahden muuttujan funktio Funktion muuttujia on tapana esittää joko koordinaattipareina tai kaksipaikkasina vektoreina, joita kutsutaan pisteiksi. Funktion määrittelyjoukko on usein osajoukko -koordinaatiston pisteistä. Funktion arvot lasketaan jokaiselle koordinaatiston pisteelle erikseen ja kuvataan usein lisäämällä koordinaatistoon -ulottuvuus funktion arvoja varten. Silloin funktion käyttäytymistä voidaan esittää yhtälön avulla.

Funktion graafinen esitys yhtälön kuvaajana -koordinaatistossa. Kuvaajan huippu sijaitsee origon päällä. Piste sijaitsee määrittelyalueen kulmauksessa taka-vasemmalla.
Funktion graafinen esitys yhtälöiden kuvaajina -koordinaatistossa. Kuvaajan huippu sijaitsee origon päällä. Piste sijaitsee määrittelyalueessa nuolen kannan kohdalla. Oranssin vektorin pituus on suunnatun derivaatan arvo.

Esimerkkinä käytetään funktiota joka on aina positiivinen lukuun ottamatta yhtä nollakohtaa origossa . Valitaan piste , joka sijaitsee oheisen kuvaajan määrittelyalueen nurkkauksessa taka-vasemmalla, ja jossa funktio saa arvokseen Kuvaajasta päätellään, että funktiota esittävä pinta muistuttaa pullistunutta pussia, joka on sekä - että -akselin suhteen symmetrinen. Koska molemmat symmetriat ovat yhtä aikaa voimassa, on kuvaaja samalla -akselin suhteen symmetrinen ja muodostaa pyörähdyskappaleen pinnan. Pisteen kohdalla on pinnan -koordinaatti Piirtämällä yhtälön kuvaaja -koordinaatistoon, muodostuu siihen ympyrä, jonka säde on ja keskipisteenä origo. Koska tämän käyrän pisteissä funktio saa aina saman arvon , kutsutaan sitä tasa-arvokäyräksi. Tasa-arvokäyrillä saa funktion arvoista tarkan kuvan, jos käyrät nimikoidaan niiden arviolla.

Funktion arvojen muutosnopeus näkyy -koordinaatistossa pinnan jyrkkyytenä. Jyrkkyys vaihtelee kuitenkin eri suunnissa. Jos vertaa funktion arvoja tasa-arvokäyrän suunnassa, on funktion arvon muutos nolla. Suurin muutosnopeus on origosta poispäin olevissa suunnissa (gradientti) ja pienin (negatiivinen) origoon päin olevissa suunnissa. Juuri tässä mielessä suunnattu derivaatta on tarpeellinen käsite, kun funktion muutosherkkyyttä eli derivaattaa määritellään eri suunnissa.

Käytännöllinen keino määrittää suunnattu derivaatta on laskea ensin gradientti. Gradientti on vektori, jonka arvo eli pituuson funktion suurin muutosnopeus kyseisessä pisteessä. Vektori myös osoittaa siihen suuntaan, missä muutosnopeus on suurimmillaan. Piirretään samaan pisteeseen suora, joka kulkee samaan suuntaan kuin suunnattu derivaatta tullaan määrittämään. Gradientin projektio tälle suoralle antaa sunnatun derivaatan arvon projektivektorin pituutena. Se voidaan laskea ottamalla gradientin arvosta kosini suoran ja gradientin välisestä kulmasta.

Esimerkkifunktion gradienttivektori lasketaan osittaisderivaatan avulla

jolloin vektorin arvoksi tulee Valitaan derivaatan suunnaksi yksikkövektori , jolloin suunnatun derivaatan arvoksi saadaan vektorien pistetulon avulla

eli

Merkintöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suunnattu derivaatta merkitään monella eri tavalla. Pisteessä ja suunnassa määritetty funktion suunnattu derivaatta voidaan merkitä seuraavilla tavoilla:[2][4]

missä merkityt kertolaskut ovat vektorien pistetuloja.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Usean muuttujan funktion määrittelyjoukko voidaan ajatella koostuvan usean muuttujan pisteistä tai vektoreista , jolloin merkitään (lihavoidut suureet ovat pisteitä ja vektoreita). Kun halutaan laskea funktion arvoja pisteessä , joka sijaitsee pisteestä lähtevän yksikkövektorin suunnassa, kirjoitetaan missä . Funktion arvojen muutosnopeus pisteen ympäristössä ja suunnassa muodostetaan erotusosamäärän avulla, jonka raja-arvona saadaan haluttu derivaatta

[4]

Yhteys gradienttiin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion gradientti (lue "nabla f") on vektori, joka osoittaa kussakin pisteessä siihen suuntaan, missä funktion suunnattu derivaatta saa suurimman arvonsa. Silloin suunnatun derivaatan arvo on yhtä suuri kuin gradientin itseisarvo eli . Suunnattu derivaatta voidaan laskea yksikkövektorin ja gradientin vektorien pistetulon avulla [5][6][4]

missä on yksikkövektorin ja gradientin välinen kulma. Gradienttia käyttämällä saadaan helpoin tapa määrittää suunnatun derivaatan arvo.[6]

Gradientti lasketaan ottamalla funktiosta osittaisderivaatat kunkin muuttujan suhteen erikseen ja järjestämällä tulokset muuttujien mukaiseen järjestykseen vektoriksi [7]

[4]

Juttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisiä ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suunnatun derivaatan ominaisuuksia, kun derivaatta on otettu suunnassa :

Funktioiden summa:

Vakiovektorin sääntö:

Funktioiden tulon sääntö:

Ketjusääntö: Jos g differentioituva pisteessä p and h on differentioituva pisteessä g(p), silloin

Toispuoleiset suunnatut derivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toispuoleiset derivaatat funktiolle suunnassa , missä , voidaan määritellä

Suunnattu derivaatta suunnassa on olemassa, kun toispuoleiset suunnatut derivaatat ja ovat samanarvoiset. Tällöin pätee

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b Weisstein, Eric W.: Directional Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Helsingin yliopisto: Matematiikan tukikurssi, s. 1–4, 2010
  4. a b c d Hästö, Peter: Analyysi II, s. 31–33, Oulun yliopisto, 2007
  5. Weisstein, Eric W.: Gradient (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b Kangaslampi, R.: Osittaisderivaatta 1, 2012
  7. Weisstein, Eric W.: Partial Derivative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]