Tensori

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Tensori on matematiikassa tietyn tyyppinen geometrinen kokonaisuus, tai vaihtoehtoisesti yleinen suure. Tensorin käsitteessä yhdistyvät skalaarilla kertominen, vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset. Tensorit voidaan kirjoittaa koordinaatistojen avulla tai taulukkoesityksen muodossa, mutta ne on määritelty esitystavasta riippumatta. Ne ovat niin sanottuja multilineaarikuvauksia vektoriavaruudelta kerroinkunnalle.

Tensorit on määritelty siten, että niiden ominaisuudet säilyvät koordinaatistojen tavallisissa muunnoksissa. Tästä seuraa, että tensorit ovat tärkeitä fysiikassa ja teknisillä aloilla. Erityisesti niihin törmää yleisessä suhteellisuusteoriassa ja hydrodynamiikassa. Tensorilaskennan tutkiminen muodostaa osan niin sanotusta multilineaarisesta algebrasta.

Tensorin klassinen määrittely[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tensorin määrittely suureena, joka muuntuu mielivaltaisessa koordinaatistomuunnoksessa (koordinaatistomuunnos on vaikkapa muunnos karteesisesta koordinaatistosta pallokoordinaatistoon) tietyllä tavalla on usein käytännöllinen ja havainnollinen. Se myös näyttää hyvin, mikä ero on tensorilla ja skalaarilla. Tässä lähestymistavassa uudet (siis muunnoksen jälkeiset) koordinaatit merkitään yläviivalla (), ja alkuperäiset koordinaatit ilman viivaa (). Einsteinin summaussääntöä käyttäen:

Yleinen tensori voidaan kirjoittaa muodossa

,

missä ylemmät indeksit [] ovat tensorin kontravariantit komponentit ja alaindeksit [] sen kovariantit komponentit. Tensorin indeksien lukumäärä kertoo kontra- ja kovarianttien komponenttien lukumäärän. Yllä :llä on kontra- ja kovarianttia komponenttia. Erityisesti, jos tensorilla on vain jompiakumpia indeksejä, puhutaan kertaluvusta. Esimerkiksi tensori

on toisen kertaluvun kontravariantti tensori. Yleisessä koordinaatistomuunnoksessa se muuntuu

Vastaavasti esimerkiksi kolmannen kertaluvun kovariantti tensori muuntuu

Nämä muunnoskaavat yleistyvät suoraan sekatensoreille. Esimerkiksi tensori, jolla on yksi kovariantti- ja kaksi kontravarianttia komponenttia muuntuu luonnollisesti

Tensori siis säilyttää aina muotonsa, mikä tekee niistä ilmaisuvoimaisen työkalun erilaisissa tilanteissa. Erityisesti kannattaa huomata, että tapauksessa, jossa indeksejä on vain yksi, tensorin määritelmät yhtyvät vastaavan vektorin muunnoskaavoihin. Vektorit ovat siis ensimmäisen kertaluvun tensoreita. Jos indeksejä ei ole yhtään, kaikki derivaatat häviävät eikä koordinaatistomuunnos muuta suuretta lainkaan. Tällöin kyseessä on skalaari.

Tensorisuureet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tensorisuureella tarkoitetaan fysiikassa ja teknillisillä aloilla suuretta, jonka arvo riippuu mittaussuunnasta. Tensorisuureet laajentavat skalaarisuureita (jotka ovat "paljaita lukuja", esimerkiksi lämpötila) sekä vektorisuureita (joissa suuruuteen liittyy myös suunta, esimerkiksi nopeus).[1]

Tyypillisiä tensorisuureita ovat anisotropiaan liittyvät suureet kuten sähkönjohtavuus ja lämmönjohtavuus sekä jatkumomekaniikan suureet jännitys ja venymä.[2] Kerrokselliselle materiaalille on tyypillistä esimerkiksi, että sähkönjohtavuus on korkeampi kerrosmyötäisessä suunnassa kuin sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Toisaalta esimerkiksi yksiakselisessa puristuksessa jännitys on suurin puristusta vastaan kohtisuorassa tasossa ja pienenee, kun tason normaalin ja puristuksen välinen kulma kasvaa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Feeling tense about tensors? plus.maths.org. 20.6.2014. Viitattu 15.6.2018. (englanniksi)
  2. Eloranta, Esko: Geofysiikan kenttäteoria, s. 52. STUK – Säteilyturvakeskus, 2003. ISBN 978-952-478-195-4. Teoksen verkkoversio.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Spiegel, Murray R.: Vector Analysis and an introduction to Tensor Analysis. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 1974 (1959). ISBN 978-0070990098.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.