Ikosaedrinen symmetria

Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa

Involutionaalinen symmetria Cs, (*) [ ] =	Syklinen symmetria Cnv, (*nn) [n] =	Diedrinen symmetria Dnh, (*n22) [n,2] =
Polyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32)
Tetraedrinen symmetria Td, (*332) [3,3] =	Oktaedrinen symmetria Oh, (*432) [4,3] =	Ikosaedrinen symmetria Ih, (*532) [5,3] =

Ikosaedrisen symmetrian perusalueet

Tavallinen pyöristetyn ja typistetyn ikosaedrin muotoinen jalkapallo, jolla on täysi ikosaedrinen symmetria

.

Ikosaedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen ikosaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 120 tavalla, joista 60 on orientaation säilyttäviä. Ikosaedrin ohella myös dodekaedrilla on dodekaedrinen symmetria, sillä se on ikosaedrin duaalikappale.

Ikosaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on A₅, sama kuin viiden alkion alternoiva ryhmä, ja sen täysi symmetriaryhmä, johon kuuluvat myös peilaukset, on tämän alternoivan ryhmän ja syklisen ryhmän Z₂ tulo A₅ × Z₂. Jälkimmäinen ryhmä tunnetaan myös Coxeterin ryhmänä H₃, ja sitä esittävät Coxeterin merkintä [5,3] ja Coxeterin diagrammi .

Pisteryhmänä

prismaattisten ja antiprismaattisten symmetrioiden kahta ääretöntä sarjaa lukuun ottamatta täydellä eli akiraalisella ikosaedrisella symmetrialla on kaikista diskreeteistä pistesymmetrioista ja samalla kaikista pallopinnan diskreeteista symmetrioista suurin symmetriaryhmä ja rotationaalisella eli kiraalisella ikosaedrisella symmetrialla toiseksi suurin.

Ikosaedrinen symmetria ei ole yhdistettävissä siirtosymmetriaan. Näin ollen ei myöskään ole olemassa sellaista kidejärjestelmää, jonka yksikkökopeilla olisi ikosaedrinen symmetria.

Schoenflies	Coxeter		Orb.	Abstrakti struktuuri	Kertaluku
I	[5,3]+		532	A5	60
Ih	[5,3]		*532	A5×2	120

Näiden ryhmien presentaatiot ovat:

$I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \$

$I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\$

Nämä vastaavat rotationaalista ja täyttä ikosaedristä ryhmää, jotka ovat (2, 3, 5) -kolmioryhmät.

Ensimmäisen presentaation esitti William Rowan Hamilton ikosiaanilaskentaa koskevassa tutkielmassaan vuonna 1856.

Ryhmä voidaan kuitenkin presentoida myös muilla tavoin, esimerkiksi alternoivana ryhmänä (I:lle).

Visualisointeja

Schoenflies (Orb.)	Coxeter	Alkioita	Peilidiarammit
			Ortogonaalinen	Stereografinen projektio
Ih (*532)	[5,3]	Peili- viivojas: 15
I (532)	[5,3]+	Pyörähdys- pisteitä: 125 203 302

Ryhmän rakenne

Viiden oktaedrin pallomaisen yhdistelmän särmät esittävät 15 heijastustasoa, jotka on tässä merkitty väritetyillä isoilla ympyröillä. Jokainen oktaedri voi esittää kolmea toisiinsa nähden kohtisuoraa heijatustasoa, jotka kulkevat niiden särmien kautta.
Pyritoedrinen symmetria on ikosaedrisen symmetrian aliryhmä, jonka indeksi on 5. Sillä on kolme tässä vihreällä merkittyä heijastussuoraa ja 8 punaista kertaluvun 3 pyörähdyspistettä. Indeksin 5 aliryhmänä sillä on 5 muuta pyritoedrisen symmetrian suuntaa.

Ikosaedrisen rotaatioryhmän I kertaluku on 60. Ryhmä I on isomorfinen alternoivan ryhmän A₅ eli viiden alkion parillisten permutaatioiden ryhmän kanssa. Tämä isomorfismi voidaan toteuttaa suorittamalla I:hin kuuluvat kuvaukset eri kohteille, erityisesti dodekaedrin ympäri piirretyille viiden kuution yhdistelmälle, viiden oktaedrin yhdistelmälle tai jommallekummalle kahdesta viiden tetraedrin yhdistelmästä (jotka ovat enantiomorfisia ja ympäröivät dodekaedria).

Ryhmä I sisältää 5 versiota ryhmästä T_h, 20 versiota ryhmästä D₃ (10 akselia, joista kutakin vastaa 2 versiota) sekä 6 versiota ryhmästä D₅.

'Täyden ikosaedrisen ryhmän I_h kertaluku on 120. Se sisältää I:n normaalina aliryhmänä, jonka indeksi on 2. Ryhmä I_h in isomorfinen ryhmän I × Z₂ eli A₅ × Z₂ kanssa. Kun Z₂ kirjoitetaan multiplikatiivisesti, sen alkiot ovat 1 ja -1, joista edellinen vastaa identtistä kuvausta, jälkimmäinen peilausta (inversiota) keskipisteen suhteen.

I_h toimii viiden kuution tai viiden oktaedrin yhdistelmissä, mutta alkio -1 toimii identtisen kuvauksen tavoin, koska kuutiolla ja oktaedrilla on symmetriakeskus. Se toimii myös kymmenen tetraedrin yhdistelmässä: I toimii kahdella kiraalisella puoliskolla ja -1 vaihtaa nämä puoliskot keskenään. On kuitenkin huomattava, että se ei vaikuta samoin kuin S₅, sillä nämä ryhmät eivät ole isomorfisia, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

Ryhmä I_h sisältää aliryhminään 10 versiota ryhmästä D_3d ja kuusi versiota ryhmästä D_5d (antiprismojen kaltaiset symmetriat)

I on myös isomorfinen PSL₂(5):n kanssa, mutta I_h ei ole isomorfinen SL₂(5):n kanssa.

Muita saman kertaluvun ryhmiä

Seuraavilla ryhmillä on kaikilla kertaluku 120, mutta ne eivät ole isomorfisia:

• S₅, 5 alkion symmetrinen ryhmä
• I_h, täysi ikosaedrinen ryhmä (tämän artikkelin aihe, käytetään myös merkintää H₃)
• 2I, binäärinen ikosaedrinen ryhmä

Ne vastaavat seuraavia lyhyitä täsmällisiä sarjoja (joista jälkimmäinen ei jakaudu) ja tuloa

$1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1$

$I_{h}=A_{5}\times Z_{2}$

$1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1$

Sanallisesti ilmaistuna,

• $A_{5}$ on $S_{5}$:n aliryhmä
• $A_{5}$ on suoran summan $I_{h}$ tekijä
• $A_{5}$ on $2I$:n tekijäryhmä.

On huomattava, että ryhmällä $A_{5}$ on poikkeuksellinen palautumaton kolmiulotteinen lineraarinen esitysmuoto, ikosaedrinen rotaatioryhmä, mutta ryhmällä $S_{5}$ ei ole palautumatonta kolmiulotteista esitysmuotoa, mikä vastaa sitä seikkaa, ettei täysi ikosaedrinen ryhmä ole sama kuin symmetrinen ryhmä.

Nämä liittyvät lineaarisiin ryhmiin myös viiden alkion äärellisen kunnan kautta, joka osoittaa aliryhmät ja peiteryhmät suoraan; yksikään näistä ei ole täysi ikosaedrinen ryhmä.

• $A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ projektiivinen erikoinen lineaarinen ryhmä
• $S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä
• $2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ erikoinen lineaarinen ryhmä

Konjugaattiluokat

konjugaattiluokat

I	Ih
identtinen kuvaus 12 kpl 72°:n rotaatioita, kertalukua 5 12 kpl 144°:n rotaatioita, kertalukua 5 20 kpl 120°:n rotaatioita, kertalukua 3 15 kpl 180°:n rotaatioita, kertalukua 2	peilaus pisteen suhteen (inversio) 12 kpl 108°:n rotoreflektioita (108°:n rotaation ja tason suhteen tehdyn peilauksen yhdistettyjä kuvauksia), kertalukua 10 12 kpl 36°:n rotorefektioita, kertalukua 10 20 kpl 60°:n rotoreflektioita, kertalukua 6 15 kpl peilauksia tasojen suhteen, kertalukua 2

Täyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmät

Aliryhmärelaatiot

Kiraaliset aliryhmärelaatiot

Schoenfiles	Coxeter		Orb.	H-M	Rakenne	Sykl.	Kertaluku	Indeksi
Ih	[5,3]		*532	532/m	A5×Z2		120	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	Dih2×Dih1=Dih13		8	15
C5v	[5]		*55	5m	Dih5		10	12
C3v	[3]		*33	3m	Dih3=S3		6	20
C2v	[2]		*22	2mm	Dih2=Dih12		4	30
Cs	[ ]		*	2 or m	Dih1		2	60
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×Z2		24	5
D5d	[2+,10]		2*5	10m2	Dih10=Z2×Dih5		20	6
D3d	[2+,6]		2*3	3m	Dih6=Z2×Dih3		12	10
D1d = C2h	[2+,2]		2*	2/m	Dih2=Z2×Dih1		4	30
S10	[2+,10+]		5×	5	Z10=Z2×Z5		10	12
S6	[2+,6+]		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	20
S2	[2+,2+]		×	1	Z2		2	60
I	[5,3]+		532	532	A5		60	2
T	[3,3]+		332	332	A4		12	10
D5	[2,5]+		522	522	Dih5		10	12
D3	[2,3]+		322	322	Dih3=S3		6	20
D2	[2,2]+		222	222	Dih2=Z22		4	30
C5	[5]+		55	5	Z5		5	24
C3	[3]+		33	3	Z3=A3		3	40
C2	[2]+		22	2	Z2		2	60
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	120

Kaikki nämä aliryhmien luokat ovat konjugaattisia ja voidaan tulkita geometrisesti.

On huomattava, että jokaisella kärjellä, särmällä, tahkolla ja monitahokkaalla on samat stabilisaattorit kuin vastakkaisella kärjellä, särmällä, tahkolla tai monitahokkaalla. Toisin sanoen symmetriakuvaus, joka kuvaa kappaleen jonkin kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen, kuvaa myös sille vastakkaisen kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen.

Kärkien stabilisaattorit

Kärjen stabilisaattorit ovat symmetriakuvauksia, joissa annettu kärki kuvautuu itselleen. Ne voidaan tulkita myös generoimansa akselin stabilisaattoreiksi.

• kunkin kärjen stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän C₃.
• kunkin kärjen stabilisaattorit I_h:ssa muodostavat diedriryhmän' D₃.
• kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän D₃
• kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit I_h:ssa muodostavat ryhmän $D_{3}\times \pm 1$.

Särmien stabilisaattorit

Vastakkaisten särmien muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman suorakulmion stabilisaattoreiksi.

• Kunkin särmän stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän Z₂.
• Kunkin särmän stabilisaattorit I_h:ssa muodostavat Kleinin neliryhmän $Z_{2}\times Z_{2}$
• Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat Kleinin neliryhmän $Z_{2}\times Z_{2}$
• Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit I_h:ssa muodostavat ryhmän $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$; tällaisia pareja on viisi ja ne voidaan muodostaa peilauksilla kolmen kohtisuoran akselin suhteen.

Tahkojen stabilisaattorit

Vastakkaisten tahkojen muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman antiprisman stabilisaattoreiksi.

• Kunkin tahkon stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän C₅.
• Kunkin tahkon stabilisaattorit I_h:ssa muodostavat diedriryhmän D₅.
• Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat diedriryhmän D₅.
• Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit I_h:ssa muodostavat ryhmän $D_{5}\times \pm 1$.

Monitahokkaiden stabilisaattorit

Näistä jokaiselle on viisi konjugaattista kopiota, ja konjugaatiotoimitus muodostaa kuvauksen, itse asiassa isomorfismin $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$.

• Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I:ssä muodostavat T:n kopion.
• Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I'_h:ssa muodostavat T:n kopion.
• Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat T:n kopion.
• Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit I_h:ssä muodostavat T_h:n kopion.

Perusalueet

Ikosaedrisen rotaatioryhmän ja täyden ikosaedrisen ryhmän perusalueet näkyvät seuraavassa kaaviossa:

Ikosaedrinen rotaatioryhmä I

Täysi ikosaedrinen ryhmä Ih

Disdyakis-triakontaedri, jonka tahkot ovat symmetrian perusalueita.

Disdyakis-triakontaedrin jokainen tahko on ikosaedrisen symmetrian perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, voidaan muodostaa siitä muuntamalla tahkoja eri tavoin, esimerkiksi tasoittamalla sopivasti valitut tahkojen ryhmät siten, että samaan ryhmään kuuluvat tahkot yhdistyvät yhdeksi tahkoksi, vaihtamalla jokainen tahko useamman tahkon yhdistelmään tai kaarevaan pintaan.

Monitahokkaat, joilla on ikosaedrinen symmetria

Kiraaliset monitahokkaat

Luokka	Merkinnät	Kuva
Arkhimedeen kappale	sr{5,3}
Catalanin kappale	V3.3.3.3.5

Täysi ikosaedrinen symmetria

Platonin kappaleet	Keplerin–Poinsot'n kappaleet		Arkhimedeen kappaleet
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3} {5,3}]]	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Platonin kappaleet	Keplerin–Poinsot'n kappaleet		Arkhimedeen kappaleet
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Muita ikosaedrisesti symmetrisiä kohteita

Circogonia icosahedra, eräs radiolaari

Adenoviruksen kapsidi

Dodekaboraatti-ioni [B₁₂H₁₂]²⁻

Ikosaedrisesti symmetrisiä ovat myös:

• Barthin pinnat
• monien virusten rakenne ja niiden kapsidit
• kemiassa dodekaboraatti-ioni ([B₁₂H₁₂]²⁻) ja dodekaedraanimolekyyli (C₂₀H₂₀).

Nestekiteet ja kvasikiteet

Hagen Kleinert ja K. Maki tutkivat vuonna 1981 yksityiskohtaisesti nestekiteiden rakennetta ja totesivat, että niissä esiintyy ikosaedrista symmetriaa Kolme vuotta myöhemmin Dan Shechtman osoitti kokeellisesti, että eräät alumiinin seokset muodostavat kvasikiteitä, joissa esiintyy myös ikosaedrista symmetriaa. Tästä havainnostaan hän sai Nobelin palkinnon vuonna 2011.

Muita samantapaisia geometrioita

Ikosaedrisen symmetria on symmetriaryhmä on isomorfinen projektiivisen erityisen lineaarisen ryhmän PSL (2,5) kanssa, joka on myös modulaarisella käyrällä X(5). Yleisemminkin PSL(2,p) on modulaarisen käyrän X(p) symmetriaryhmä. Modulaarinen käyrä X(5) on geometrisesti dodekaedri, johon on lisätty kärki sen jokaisen tahkon keskipisteeseen, mikä kuvastaa sen symmetriaryhmää.

Tätä geometriaa ja siihen liittyvää symmetriaryhmää tutki Felix Klein vuonna 1888 Belyin pinnan monodromiaryhminä. Belyin punta on Riemannin pinta, joka voidaan kuvata holomorfisesti Riemannin pallolle niin, että sehaarautuu vain pisteissä 0, 1 ja &infinity; (Belyun funktio). Kärjet vastaavat äärettömyydessä olevia pisteitä, kun taas kärjet ja särmien keskipisteet vastaavat pisteitä 0 ja 1. Kuvauksen aste on 5, eli se peittää pallon viisi kertaa.

Klein päätyi teoriaansa yrittäessään selittää geometrisesti, miksi ikosaedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen viidennen asteen yhtälön Galois'n ryhmän A₅ kanssa.

Jatkaessaan tutkimuksiaan Klein löysi kertalukujen 7 ja 11 symmetrioita sekä niihin liittyviä Riemannin pallon 7. ja 11. asteen peitteitä Hän muodosti myös neljännen asteen pinnan, jonka geometria voidaan laatoittaa 24 seitsenkulmiolla, joista jokaisen keskipisteessä on kärki.

Vastaavia geometrioita esiintyy myös PSL(2,n):ssä sekä yleisemmin muiden modulaaristen käyrien ryhmissä.

On myös löydetty yhteyksiä ryhmien PSL(2,5) (kertalukua 60), PSL(2,7) (kertalukua 168) ja PSL(2,11) (kertalukua 660) välillä. Nämäkin ryhmät voidaan tulkita geometrisesti: PSL(2,5) on ikosaedrin, (genus 0), PSL(2,7) Kleinin neljännen asteen pinnan (genus 3) ja PSL(2,11) buckyball-pinnan (genus 70) symmetriaryhmä. Nämä ryhmät muodostavat Vladimir Arnoldin tarkoittamassa mielessä kolmikon, jonka jäsenten välillä on monia yhteyksiä.

Katso myös

• Tetraedrinen symmetria
• Oktaedrinen symmetria

Lähteet

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), s. 296
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass: The Symmetries of Things. {{{Julkaisija}}}, 2008. ISBN 978-1-56881-220-5.
• F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (toim): Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter. Wiley-Interscience Publication, 1995. 978-0-471-01003-6. Teoksen verkkoversio.
• Norman Johnson: ”11.5: Finite symmetry groups, Spherical Coxeter groups”, Geometries and Transformations. , 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.