Catalanin kappale
Catalanin kappaleet eli Arkhimedeen duaalit[1] ovat avaruusgeometriassa Arkhimedeen kappaleiden duaalikappaleita. Samoin kuin Arkhimedeen kappaleita, on myös Catalanin kappaleita olemassa 13 erilaista. Ne ovat saaneet nimensä belgialaisen matemaatikko Eugène Catalanin mukaan, joka ensimmäisenä kuvaili ne vuonna 1862.[2]
Yhteisiä ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kaikki Catalanin kappaleet ovat kuperia. Ne ovat tahkotransitiivisia, mutta eivät kärkitransitiivisia, toisin sanoen ne voidaan kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa kappaleen tahkoista voidaan kuvata mille tahansa toiselle, mutta mitä tahansa niiden kärjistä ei voida kuvata mille tahansa toiselle. Tämä aiheutuu siitä, että niiden duaalikappaleet, Arkhimedeen kappaleet, ovat kärkitransitiivisia mutta eivät tahkotransitiivisia. Toisin kuin sekä Platonin että Arkhimedeen kappaleilla, Catalanin kappaleiden tahkot eivät ole sännöllisiä monikulmioita. Niiden kärkikuviot, jotka saadaan leikkaamalla jostakin kärjestä pala pois, ovat kuitenkin säännöllisiä monikulmioita, ja niistä jokaisen kaikki diedrikulmat ovat yhtä suuria.[3] Tahkotransitiivisuutensa vuoksi Catalanin kappaleet ovat isoedrejä.[4]
Kaksi Catalanin kappaleista, rombidodekaedri ja rombinen triakontaedri, on lisäksi särmätransitiivisia eli ne voidaan kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa niiden särmistä kuvautuu mille tahansa toiselle. Nämä ovat kvasisäännöllisten Arkhimedeen kappaleiden duaalikappaleet.
Samoin kuin prismoja ja antiprismoja ei yleensä pidetä Arkhimedeen kappaleina, ei myöskään niiden duaalikappaleita, bipyramideja ja trapetsoedreja yleensä pidetä Catalanin kappaleina, vaikka nekin ovat tahkotransitiivisia.
Kaksi Catalanin kappaleita on kiraalisia eli ne eivät ole identtisiä peilikuvansa kanssa: pentagonaalinen ikositetraedri ja pentagonaalinen heksekontaedri. Ne ovat kiraalisten Arkhimedeen kappaleiden, pullistetun kuution ja pullistetun dodekaedrin duaalikappaleet. Niillä on kaksi muotoa, enantiomorfia, jotka ovat toistensa peilikuvia samaan tapaan kuin ihmisen oikea ja vasen käsi.[5][6] Jos enantomorfeja, bipyramideja ja trapetsoedreja ei oteta huomioon, erilaisia Catalanin kappaleita on kaikkiaan 13.
Arkhimedeen ja vastaavat Catalanin kappaleet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Symmetria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Duaalikappaleidensa eli Arkhimedeen kappaleiden tavoin Catalanin kappaleet voidaan jakaa symmetriaominaisuuksiensa perusteella kolmeen ryhmään: tetraedrisiin, oktaedrisiin ja ikosaedrisiin. Kutakin symmetrialuokkaa vastaa kuusi muotoa, paitsi tetraedrisessa ryhmässä, joka on itsessään symmetrinen siten, että erilaisia muotoja on vain kolme ja niistäkin kaksi on samoja, joilla on myös oktaedrinen symmetria.
| Arkhimedeen monitahokkaat | 
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|
| Catalanin kappaleet | 
|
|
|
|
|
|
| Arkhimedeen monitahokkaat | 
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|
| Catalanin kappaleet | 
|
|
|
|
|
|
| Arkhimedeen monitahokkaat | 
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|
| Catalanin kappaleet | 
|
|
|
|
|
|
Eri kappaleiden ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Alla olevassa taulukossa tahkon kuvan alla oleva merkintä osoittaa, minkälaisia monikulmioita kappaleen kunkin kärjen ympärillä olevat tahkot ovat. Esimerkiksi merkintä V3.6.6 tarkoittaa, että jokaisessa kärjessä kohtaa toisensa kolme tahkoa, joista yksi on kolmio, molemmat muut kuusikulmioita.
Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Eugène Catalan: Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris), 1865, nro 41, s. 1–71.
- Magnus Wenniner: Dual Models. Cambridge University Press, 1983. ISBN 978-0-521-54325-5.
- Robert Williams: The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc., 1979. ISBN 0-486-23729-X.
- Anthony Pugh: ”Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms”, Polyhedra: A visual approach. University of California Press. ISBN 0-520-03056-7.
Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- ↑ Archimedean Dual Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018.
- ↑ a b Catalan Solid Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018.
- ↑ Virtual Polyhedra: Archimedean Duals georgehart.com. Viitattu 4.8.2018.
- ↑ Isohedron mathworld.wolfram.com. Viitattu 4.8.2018.
- ↑ Pentagonal Icositetrahedron Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018.
- ↑ Pentagonal Hexecontahedron Wolfram MathWorld. Viitattu 4.8.2018. [vanhentunut linkki]