Kuboktaedri
Kuboktaedri on monitahokas, jolla on kahdeksan tasasivuisen kolmion ja kuusi neliön muotoista tahkoa. Sillä on 12 kärkeä, joista jokaisessa kohtaa toisensa kaksi kolmiota ja kaksi neliötä, sekä 24 yhtä pitkää särmää, joista jokaisen toisella puolella on kolmio, toisella puolella neliö. Se on yksi Arkhimedeen kappaleista ja samalla toinen kahdesta kuperasta kvasisäännöllisestä monitahokkaasta.[1]
Kuboktaedrin duaalikappale on rombidodekaedri.[1]
Kuboktaedrin tunsi todennäköisesti jo Platon. Heron Aleksandrialaisen teoksessa Definitiones esiintyy Arkhimedeelta peräisin oleva lainaus, jonka mukaan Platon tunsi kappaleen, joka muodostuu kahdeksasta kolmiosta ja kuudesta neliöstä.[2]
Muut nimet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuboktaedri tunnetaan myös nimellä heptaparalleloedri (engl. heptaparallelohedron).[1]
Buckminster Fuller käytti tästä kappaleesta nimitystä ”Dymaxion”, sillä hän käytti sitä eräässä vuonna 1946 laatimassaan versiosta karttaprojektiosta, jolle hän antoi nimen Dymaxion-kartaksi (engl. Dymaxion map).[3] Tämän kappaleen erikoisen symmetrian vuoksi hän nimitti sitä myös ”vektoritasapainoksi” (engl. Vector Equilibrium), sillä sen kärkien etäisyys keskipisteestä on sama kuin sen särmien pituus.[4] Kuboktaedria, joka koostuu jäykistä särmistä mutta jonka kärjet ovat taipuisia, hän nimitti ”jitterbugiksi”. Tällainen kappale voidaan deformoida oktaedriksi, tetraedriksi tai ikosaedriksi kutistamalla sen neliömäiset tahkot.
Pinta-ala ja tilavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kun kuboktaedrin särmän pituus on a, sen pinta-ala on
ja tilavuus
- .
Suorakulmaiset projektiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuboktaedrilla on neljänlaisia symmetria-akseleita, jotka kulkevat sen neliömäisten tai kolmiomaisten tahkojen keskipisteiden, särmien keskipisteiden tai kärkien kautta. Näiden symmetria-akselien suunnassa kappaleella on myös neljä erilaista suorakulmaista projektiota. Näihin nähden viistossa suunnassa saadaan myös muunlaisia projektioita.
| Neliömäinen tahko |
Kolmiomainen tahko |
Särmä | Kärki | Viisto | |
|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
| [4] | [6] | [2] | [2] | ||
| Rombidodekaedri (duaalikappale) | |||||
|
|
|
|
|
|
Stereografinen projektio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Koska kuboktaedrin kaikki kärjet ovat samalla etäisyydellä sen keskipisteestä, se voidaan käsittää pallon sisään piirretyksi monitahokkaaksi, ja sellaisena se voidaan projisoida tasolle stereografisella projektiolla. Tämä projektio on konformikuvaus, jossa kulmat pysyvät alkuperäisen suuruisena, mutta pinta-alat ja pituuden muuttuvat. Kuboktaedrin särmiä vastaavat pallopinnalla eräät sen isoympyrän kaaret, ja stereografisessa projektiossa ne kuvautuvat tasolle ympyränkaariksi.
|
|
|
|
| ortografinen projektio | projektiopisteenä neliömäisen sivun keskipiste | projektiopisteenä kolmiomaisen sivun keskipiste | projektiopisteenä kuboktaedrin kärki |
|---|---|---|---|
| Stereografinen projektio | |||
Karteesiset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kun kuboktaedrin keskipiste on origossa ja sen särmän pituus on , sen kärkipisteiden karteesiset koordinaatit ovat:[1]
- (±1,±1,0)
- (±1,0,±1)
- (0,±1,±1)
Neliulotteisessa avaruudessa sen koordinaatit voidaan vaihtoehtoisesti esittää myös joukon (0,1,1,2) kahdellatoista permutaatiolla.
Kantavektorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuboktaedrin 12 kärkeä vastaavat yksinkertaisen Lien ryhmän A3 kantavektoreita. Jos niihin lisätään oktaedrin kuusi kärkeä, nämä 18 kärkeä vastaavat yksinkertaisen Lien ryhmän B3 kantavektoreita.[5]
Kuboktaedrin jakaminen osiin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuboktaedrin särmät muodostavat neljä säännöllistä kuusikulmiota. Jos kuboktaedri leikataan niistä jonkin tasolla kahtia, kumpikin saaduista puoliskoista on kolmikulmainen kupoli, joka on yksi Johnsonin kappaleista.[6]
Kuboktaedri voidaan myös jakaa kuuteen nelisivuiseen pyramidiin ja kahdeksaan tetraedriin, jotka kaikki kohtaavat toisensa sen keskipisteessä. Nämä nelisivuiset pyramidit vastaavat muodoltaan säännöllisen oktaedrin puolikkaita.
Geometrisia suhteita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuboktaedri voidaan muodostaa kuutiosta yhdistämällä sen vierekkäisten särmien keskipisteet kuution läpi kulkevilla janoilla. Nämä janat muodostavat tällöin kuboktaedrin särmät. Asia voidaan ilmaista myös niin, että kuution jokaisen kärjen läheisyydestä lohkaistaan kolmisivuisen pyramidin muotoinen pala pois. Kuboktaedrin neliömäiset tahkot syntyvät tällöin kuution tahkojen keskiosista, kolmiomaiset tahkot taas sen särmien läheisyydestä poistettujen osien rajapinnoista.
Vastaavalla tavalla kuboktaedri voidaan muodostaa myös säännöllisestä oktaedrista.
Jos kuboktaedrin tahkojen keskipisteet yhdistetään kappaleen läpi kulkevilla janoilla, saadaan rombidodekaedri. Vastaavasti jos rombidodekaedrin tahkojen keskipisteet yhdistetään sen läpi kulkevilla janoilla, saadaan kuboktaedri. Tämä merkitsee, että rombidodekaedri on kuboktaedrin duaalikappale.
Kuboktaedri on ainoa kupera monitahokas, jonka pitkä säde (keskipisteestä kärkeen) on sama kuin särmän pituus, ja näin ollen sen pitkä halkaisija kärjestä vastakkaiseen kärkeen on kaksi kertaa särmän pituus. Tämä erikoinen symmetriaominaisuus on vain harvoilla polytoopeilla: kahdessa ulottuvuudessa säännöllisellä kuusikulmiolla, kolmessa ulottuvuudessa kuboktaedrilla sekä neljässä ulottuvuudessa 24-solulla ja tesseraktilla. Vain nämä polytoopit voidaan konstruoida tasasivuisista kolmioista, jotka kohtaavat toisensa polytoopin keskipisteessä ja joista jokaisesta muodostuu polytooppiin kaksi sädettä ja yksi särmä. Kaikki nämä voidaan myös symmetrisesti jakaa yhteneviin osiin, jotka kohtaavat toisensa polytoopin keskipisteessä, kuten esimerkiksi jaettaessa kuboktaedri kuuteen nelisivuiseen pyramidiin ja kahdeksaan tetraedriin.
Samoin kuin säännöllisillä kuusikulmioilla voidaan täyttää tasopinta, voidaan myös kolmiulotteinen avaruus täyttää kuboktaedreillä ja niiden väliin jäävillä oktaedreilla.
Neliulotteisen 24-solun tai 16-solun ekvatoriaalinen läpileikkaus on kuboktaedri. Vastaavasti kuboktaedrin ekvatoriaalinen läpileikkaus on kuusikulmio.
Kuboktaedrilla on oktaedrinen symmetria. Sen ensimmäinen stellaatio on kuution ja sen duaalisen oktaedrin yhdistelmä,[7] jossa kuboktaedrin kärkipisteinä ovat kuution ja oktaedrin särmien yhteiset keskipisteet.
Kuboktaedrin tilavuus on 5/6 sen ympäri piirretyn kuution ja 5/8 sen ympäri piirretyn oktaedrin tilavuudesta.[8]
Kuboktaedri voidaan käsittää myös pullistetuksi tetraedriksi tai typistetyksi tetratertaedriksi.
Särmien järjestys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuboktaedrilla on yhteiset särmät ja kärjet kahden ei-kuperan monitahokkaan kanssa. Ne ovat kubohemioktaedri, jonka kanssa sillä on yhteiset neliömäiset tahkot, ja oktahemioktaedri, jonka kanssa sillä on yhteiset kolmiomaiset tahkot.
 Kuboktaedri |
 Kubohemioktaedri |
 Oktahemioktaedri |
Kuboktaedri kulttuurissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Star Trek -jaksossa "By Any Other Name" muukalaiset valtaavat Enterprisen muuttamalla sen henkilökunnan jäsenet elottomiksi kuboktaedreiksi.
- Trainer Warehousen "Geo Twister Fiddle" -niminen lelu on muodoltaan taipuisa kuboktaedri.[9]
- Coriolis -avaruusalukset tietokonepelisarjassa Elite ovat kuboktaedrin muotoisia.
- Buddhalaista vesak-juhlaa varten Sri Lankassa perinteisesti valmistetut Vesak Kuudu -nimiset lyhdyt ovat yleensä kuboktaedrin muotoisia.[10]
- Kiinalaisten mellakkapoliisien käyttämän chuí -nimisen lyömäaseen sekä useiden muiden nuijan tyyppisten aseiden lyöntipää on toisinaan kuboktaedrin muotoinen.
Kuboktaedrinen graafi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Matemaattisessa graafiteoriassa kuboktaedrinen graafi on kuboktaedrin särmien ja kärkien muodostama graafi. Sillä on 12 solmua ja 24 kaarta, ja se on neljännen asteen graafi, toisin sanoen sen jokaisessa solmussa kohtaa toisensa neljä kaarta. Se myös Arkhimedeen graafi, koska kuboktaedri kuuluu Arkhimedeen kappaleisiin. Se on myös Hamiltonin graafi.[11]
Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- ↑ a b c d Cuboctahedron Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 20.6.2018.
- ↑ Thomas Heath: A manual of Greek mathematics, s. 176. Clarendon, 1931.
- ↑ US Patent 2393676 patents.google.com. Viitattu 20.6.2018.
- ↑ The Cuboctahedron Hexnet. Viitattu 20.6.2018.
- ↑ Brian Hall: ”Examples in Rank Three”, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, s. 228–230. Springer, 2015. ISBN 978-3-319-13466-6. Teoksen verkkoversio. doi:10.1007/798-3-319-13467-3.
- ↑ Cuboctahedron Eusebeia. Arkistoitu 21.6.2018. Viitattu 20.6.2018.
- ↑ Stellations of the Cuboctahedron George Hart. Viitattu 20.6.2018.
- ↑ Nathaniel John Larkin: ”The Trapezohedron”, An Introduction to Solod Geometry and to the Study of Chrystallography, s. 41. Longman, Hurst, Rees, Orme and Brown, 1820. ISBN. Teoksen verkkoversio.
- ↑ Geo Twister Fiddle Trainer Warehouse. Viitattu 21.6.2018.
- ↑ How to make a Vesak Lantern timeout.com. Viitattu 21.6.2018.
- ↑ Cuboctahedral Graph Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 21.6.2018.
Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kuboktaedri Wikimedia Commonsissa
