Stereografinen projektio

Stereografisen projektion periaate. Pallopinnan pistettä P vastaa tasolla piste P', jossa pisteen P ja navan N kautta kulkeva suora leikkaa tason.

Stereografinen projektio on geometrinen kuvaus, joka kuvaa koko pallopinnan tasolle yhtä pistettä lukuun ottamatta. Tällöin pallopinnalta valitaan yksi kiinteä piste projektiopisteeksi, ja jokaista muuta pallopinnan pistettä vastaa se piste, jossa tämän projektiopisteen ja annetun pisteen kautta kulkeva suora leikkaa tason.

Tämä projektio on määritelty kaikissa pallonpinnan pisteissä paitsi projektiopisteessä. Funktio on määrittelyjoukossaan sileä ja bijektio. Se on myös konformaalinen, koska siinä kulmat pysyvät alkuperäisen suuruisina. Toisaalta se ei kuvaa tarkasti pinta-alaa, varsinkaan projektiopisteen lähellä.

Stereografista projektiota käytetään karttaprojektiona varsinkin napaseutujen kartoissa, jolloin projektiopisteeksi valitaan vastakkainen napa. Sitä voidaan käyttää myös maailmankartoissa, jolloin maapallo esitetään kahtena ympyränmuotoisena alueena, joiden keskipisteet ovat päiväntasaajalla vastakkaisilla puolilla maapalloa.

Stereografisella projektiolla on huomattava merkitys myös monilla matematiikan osa-alueissa, kuten differentiaaligeometriassa ja kompleksianalyysissä. Sen (tai oikeastaan sen käänteiskuvauksen) avulla funktion määrittelyjoukkona yleisesti käytetyn laajennetun kompleksitason ($\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$) jokainen piste saadaan vastaamaan jotakin Riemannin pallon pistettä.

Stereografinen projektio ja sen mukaisia karttoja. Vasemmalla normaaliasentoinen (projektiopiste navalla), keskellä vinoasentoinen (projektiopiste muualla kuin navalla tai päiväntasaajalla), oikealla poikittaisasentoinen (projektiopiste päiväntasaajalla).