Bipyramidi

Säännöllisten suorien bipyramidien joukko
Coxeterin diagrammi
Schläflin symboli	{ } + {n}
Tahkoja	2n kolmiota
Särmiä	3n
Kärkiä	2 + n
Sivukonfiguraatio	V4.4.n
Symmetriaryhmä	Diedrinen kolmiulotteinen symmetria Dnh, [n,2], (*n22), kertalukua 4n
Rotaatioryhmä	Dn, [n,2]+, (n22), kertalukua 2n
Duaalikappale	n-kulmainen särmiö
Ominaisuudet	kupera, tahkotransitiivinen
Verkko

Juomapilleistä ja kuminauhasta tehty bipyramidi. Siihen on lisätty ylimääräinen akselin suuntainen pilli, jota ei ole yksinkertaisissa monitahokkaissa.

n-kulmainen bipyramidi, dipyramidi eli kaksoispyramidi on monitahokas, joka saadaan yhdistämällä n-kulmainen pyramidi ja sen peilikuva pohjat vastakkain. n-kulmaisella bipyramidilla on 2n kolmion muotoista tahkoa, 3n särmää ja 2 + n kärkeä.

Se n-kulmio, johon bipyramidin nimessä viitataan, ei ole mikään sen sivutahkoista vaan alkuperäisten pyramidien pohja, joka bipyramidia muodostettaessa jää sen sisään yhdistäen molemmat pyramidit toisiinsa ja on samalla bipyramidin symmetriataso.

Särmiöiden duaalikappaleet ovat bipyramideja.

Bipyramidin muodostavien pyramidien huippuja sanotaan bipyramidin apekseiksi.

Suorat, vinot ja koverat bipyramidit

Suoralla bipyramidilla on kaksi kärkipistettä suoraan pohjan keskipisteen ylä- ja alapuolella. Bipyramideja, jotka eivät ole suoria, sanotaan vinoiksi bipyramideiksi. Säännöllisen bipyramidin pohja on säännöllinen monikulmio, ja usein edellytetään lisäksi, että se on myös suora bipyramidi. Suora bipyramidi voidaan esittää muodossa { } + P sisäiselle monikulmiolle P ja säännöllinen n-bipyramidi muodossa { } + {n}.

Kovera bipyramidi on bipyramidi, jonka pohjana oleva monikulmio on kovera.

Säännöllinen bipyramidi on tahkotransitiivinen, jos se on jonkin uniformisen särmiön duaalikappale. Sellaisen sivutahkot ovat yleensä tasakylkisiä kolmiota.

Bipyramidin projektio pallopinnalla on kuvio, jonka muodostavat, jos pallo ajatellaan karttapalloksi, tasavälein n navalta navalle johtavaa pituuspiiriä sekä päiväntasaaja.

Bipyramidin tahkot projisoituina pallokolmioiksi esittävät perusalueita diedrisessä symmetriassa D_nh. Itse asiassa n-kulmaista bipyramidia voidaan pitää vastaavan n-kulmaisen diedrin kleetooppina.

Tilavuus

Bipyramidin tilavuus on $V={\frac {2}{3}}Bh$, missä B on pohjan pinta-ala ja h korkeus mitattuna pohjasta apeksiin. Tämä pitää paikkansa, sijaitsipa apeksi missä tahansa, kunhan h on mitattu kohtisuorasti siihen tasoon nähden, jolla pohja on.

Jos bipyramidin pohja on säännöllinen n-sivuinen monikulmio, jonka sivu on s, ja bipyramidin korkeus on h, sen tilavuus on

$V={\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

Tasasivuisten kolmioiden muodostamat bipyramidit

On vain kolmenlaisia bipyramideja, joiden kaikki särmät ovat yhtä pitkät ja tahkot näin ollen tasasivuisia kolmiota. Tällaiset bipyramidit ovat deltaedrejä. Sellaisia ovat:

• triangulaarinen bipyramidi, jonka pohja on myös tasasivuinen kolmio,
• tetragonaalinen bipyramidi eli säännöllinen oktaedri, jonka pohja on neliö, ja
• pentagonaalinen dipyramidi, jonka pohja on säännöllinen viisikulmio.

Tetragonaalinen bipyramidi, jonka kaikki särmät ovat yhtä pitkät, on sama kuin säännöllinen oktaedri, joka on samalla yksi Platonin kappaleista. Triangulaarinen ja pentagonaalinen bipyramidi taas kuuluvat Johnsonin kappaleisiin (J₁₂ ja J₁₃).

Triangulaarinen bipyramidi	Tetragonaalinen bipyramidi (oktaedri)	Pentagonaalinen bipyramidi

Kalideskooppinen symmetria

Jos bipyramidin pohja on monikulmio ja apeksit yhdistävä jana leikkaa pohjan sen keskipisteessä, n-kulmaisen bipyramidin symmetria on diedrinen symmetria D_nh kertalukua 4n, paitsi säännöllisen oktaedrin tapauksessa, jolla on laajempi oktaedrinen symmetriaryhmä O_h kertalukua 48, jolla on aliryhminään kolme versiota ryhmästä D_4h. Tällaisen bipyramidin rotaatioryhmä on D_n kertalukua 2n, paitsi säännöllisellä oktaedrilla, jolla on laajempi symmetriaryhmä O, kertalukua 24, jolla on aliryhminään kolme versiota ryhmästä D₄.

Pallopinnan 2n-bipyramidin kaksikulmaiset sivut esittävät kolmiulotteisen avaruuden diedrisen symmetrian perusalueita:D_nh, [n,2], (*n22), kertalukua 4n. Seuraavissa kuvissa nämä on jaettu kahtia niin, että toistensa peilikuvina olevat alueet ovat eri värisiä.

D1h	D2h	D3h	D4h	D5h	D6h	...

Suorat säännölliset bipyramidit

Bipyramidien perhe

Monitahokas
Coxeter	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png	Tiedosto:Cdel 2x.png
Laatoitus
Konfiguraatio	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4

Asymmetriset suorat bipyramidit

Asymmetrinen suora bipyramidi kostuu kahdesta pyramidista, joilla on yhteinen pohja mutta eri korkeus. Nämä pyramidit saattavat olla pohjan samalla puolellakin, jolloin bipyramidia sanotaan invertoiduksi. Säännöllisen n-kulmaisen asymmetrisen suoran pyramidin symmetriaryhmä on C_nv, kertalukua 2n. Asymmetrisen pyramidin duaalikappale on katkaistu kartio.

Kuusikulmainen asymmetrinen ja inveroitu bipyramidi

Asymmetrinen	Invertoitu

Skalenoedri

Skalenoedri on topologisesti 2n-sivuisen bipyramidin kaltainen, mutta sen sivutahkoina olevat kolmiot eivät ole tasakylkisiä.

Skalenoedreja on kahta tyyppiä. Ensimmäisesä tyypissä 2n kärjestä puolet on keskipisteen kautta kulkevan tason toisella puolella (yläpuolella), puolet toisella (alapuolella). Toisessa tyypissä kaikki nämä kärjet ovat samalla tasolla, mutta vuorotellen eri etäisyyksillä keskipisteestä.

Ensinmainitulla on rotaatioakselit särmien puolivälissä sivuillaan, kärkien kautta kulkevat symmetriatasot ja n-kertainen pyörähdyssymmetria akselinsa suhteen, jolloin sen symmetriaryhmä on D_nd, [2⁺,2n], (2*n), kertalukua 2n. Kristallografiassa esiintyy 8- ja 12-sivuisia skalenoedreja. Kaikki nämä muodot ovat isoedrejä.

Toisen tyypin skalenoedrilla on symmetriaryhmä D_n, [2,n], (*nn2), kertalukua 2n. Se on rombinen bipyramidi.

Pienimmällä skalenoedrilla on 8 tahkoa, ja se on topologisesti säännöllisen oktaedrin kaltainen. Sen kärkipisteet voidaan esittää muodossa (0,0,±1), (±1,0,z), (0,±1,−z), missä z on jokin 0:n ja 1:n välillä oleva vakio. Jos tämä vakio on z = 0, kyseessä on säännöllinen oktaedri. Jos taas vakio on 1, tuloksena saadaan disfenoidi, jonka samassa tasossa olevat tahkot yhtyvät. Jos z > 1, kappale ei ole kupera.

4-skalenoedrin geometriset muunnelmat

z = 0.1	z = 0.25	z = 0.5	z = 0.95	z = 1.5

Tähtibipyramidit

On olemassa myös itsensä leikkaavia bipyramideja, joiden keskuskuviona on tähtimonikulmio. Sellaisten tahkot ovat kolmioita, jotka yhdistävät yhdistävät kunkin monikulmion sivut näihin kahteen pisteeseen. Bipyramidin {p/q} Coxeterin diagrammi on .

5/2	7/2	7/3	8/3	9/2	9/4	10/3	11/2	11/3	11/4	11/5	12/5

Isoedrisiä tähtimäisiä bipyramideja, joilla on parillinen määrä sivuja, voidaan tehdä myös käyttämällä pohjana "sik-sak-monikulmioita", joiden kaikki sivut eivät ole samassa tasossa, samoin kuin isotoksista tähtimonikulmiota, joiden sakarat ovat eri pituiset mutta joiden kaikki sivut sakaran kärjestä toisen sakaran kärkeen mitattuina ovat yhtä pitkät, tai myös monikulmioita, joilla on nämä molemmat ominaisuudet, esimerkiksi seuraavissa esimerkeissä, joissa pohjamonikulmion Schläflin symboli on {8/3}:

Säännöllinen	Sik-sak, säännöllinen	Isotoksinen	Sik-sak, isotoksinen

Korkeammat ulottuvuudet

Bipyramidit 4-polytooppien soluina

Monitahokkaiden vastineita neljässä tai useammassa ulottuvuudessa ovat polytoopit. Kun mikä tahansa kupera 4-polytooppi suoritetaan, näin saadun polytoopin duaali on solutransitiivinen 4-polytooppi, jonka solut ovat kolmiulotteisia bipyramideja. Seuraavassa käytetään bipyramidin apeksikärjelle merkintää A ja ekvaattorilla olevalle kärjelle merkintää E. esimerkissä bipyramidin apeksikärki on A ja ekvaattorikärki E. Oletetaan lisäksi, että ekvaattorilla kahden vierekkäisen kärjen välinen etäisyys on EE = 1, apeksin ja ekvaattorin välisen särmän pituus AE ja apeksien välinen etäisyys AA. Käytetään 4-polytoopin sellaisten kärkien lukumäärälle, jossa N_A bipyramidia kohtaavat toisensa, merkintää V_A, ja sellaisten kärkien lukumäärälle, joissa N_E bipyramidin tyyppiä E olevat kärjet kohtaavat, merkintää V_E. Jokaisella tyypin AE särmällä kohtaa toisensa yhtä monta bipyramidia; käytetään tälle lukumäärälle merkintää N_AE. Vastaavasti jokaisella tyypin EE särmällä kohtaa toisensa yhtä monta bipyramidia; käytetään tälle lukumäärälle merkintää N_EE. Olkoon C_EE särmää EE vastaavan diedrikulman kosini. Koska solujen on mahduttava särmän ympärille, on:

$N_{AA}cos^{-1}(C_{AA})=2\pi$ ja

• $N_{AE}cos^{-1}(C_{AE})=2\pi$.

4-polytooppien ominaisuuksia									Bipyramidien ominaisuuksia
Minkä duaali	Coxeterin diagrammi	Solut	VA	VE	NA	NE	NAE	NEE	Solu	Coxeterin diagrammi	AA	AE**	CAE	CEE
Suoristettu 5-solu		10	5	5	4	6	3	3	Kolmikulmainen bipyramidi		${\frac {2}{3}}$	0.667	$-{\frac {1}{7}}$	$-{\frac {1}{7}}$
Suoritettu tesserakti		32	16	8	4	12	3	4	Kolmikulmainen bipyramidi		${\frac {\sqrt {2}}{3}}$	0.624	$-{\frac {2}{5}}$	$-{\frac {1}{5}}$
Suoristettu 24-solu		96	24	24	8	12	4	3	Kolmikulmainen bipyramidi		${\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$	0.745	${\frac {1}{11}}$	$-{\frac {5}{11}}$
Suoristettu 120-solu		1200	600	120	4	30	3	5	Kolmikulmainen pyramidi		${\frac {{\sqrt {5}}-1}{3}}$	0.613	$-{\frac {10+9{\sqrt {5}}}{61}}$	${\frac {12{\sqrt {5}}-7}{61}}$
Suoristettu 16-solu		24*	8	16	6	6	3	3	Neliöpohjainen bipyramidi		${\sqrt {2}}$	1	$-{\frac {1}{3}}$	$-{\frac {1}{3}}$
Suoristettu kuutiollinen hunajakenno		∞	∞	∞	6	12	3	4	Neliöpohjainen bipyramidi (oktaedri)		1	0.866	$-{\frac {1}{2}}$	0
Suoristettu 600-solu		720	120	600	12	6	3	3	Viisikulmainen bipyramidi		${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{5}}$	1.447	$-{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}$	$-{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}$

* Suoristettu 16-solu on sama kuin säännöllinen 24-solu, ja sen kaikki särmät ovat yhtenevät   oktaedrit ovat säännöllisiä bipyramideja.

** Ilmoitettu lukuarvona, koska tarkan arvon ilmaisevat kaavat ovat jokseenkin monimutkaisia.

Useampiulotteiset bipyramidit

Yleisesti bipyramidia voidaan pitää n-polytooppina, joka konstruoidaan lähtemällä hypertasolla olevasta n − 1)-polytoopista sekä kahdesta hypertason ulkopuolella sen eri puolilla olevasta pisteestä, jotka ovat kohtisuorasti mitattuina samalla etäisyydellä hypertasosta. Jos (n − 1)-polytooppi on säännöllinen polytooppi, kaikki muodostuvan bipyramidin rajoina olevat (n − 1)-solut ovat yhteneviä. Esimerkkinä voidaan mainita 16-solu, joka on oktaedrinen bipyramidi, ja yleisemmin n-ortopleksi, joka on (n − 1)-ortopleksinen bypyramidi.

Kaksiulotteinen bipyramidi on neljäkäs tai erikoistapauksessa neliö.

Lähteet

• Anthony Pugh: ”Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms”, Polyhedra: A visual approach. Berkeley: University of California Press, 1976. ISBN 0-520-03056-7.