Aliryhmä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmän (G,*) alkioiden ei-tyhjä osajoukko H muodostaa aliryhmän, mikäli

  • a*b \in H kaikilla a, b \in H ja
  • a^{-1} \in H kaikilla a \in H.

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti H \leq G.

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon H ryhmän (G,*) alkioiden osajoukko. Tällöin joukko H on ryhmän (G,*) aliryhmä, mikäli

  • joukon H binäärinen operaatio \star, joka saadaan asettamalla a \star b = a*b kaikilla a,b \in H on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
  • pari (H,\star) on ryhmä.

Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot \left\{ 1 \right\} ja G ovat aina ryhmän G aliryhmiä. Aliryhmää \left\{ 1 \right\} kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli H \leq G ja H \not = G, niin aliryhmää H sanotan aidoksi ja merkitään H<G. \

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon seuraavassa H \leq G, h \in H ja g \in G.

  • Ryhmän G \ neutraalialkio on myös aliryhmän H \ neutraalialkio.
  • Alkion h \in H käänteisalkio ryhmässä G \ on myös sen käänteisalkio aliryhmässä H. \
  • Tulo hg \in H jos ja vain jos g \in H. Vastaavasti gh \in H jos ja vain jos g \in H.
  • Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos K \leq G, niin
H \cup K \leq G jos ja vain jos H \leq K tai K \leq H. \
  • Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos I on mielivaltainen indeksijoukko, jolla H_i \leq G kaikilla i \in I, niin tällöin leikkaus
\bigcap_{i \in I} H_i \leq G.
  • Jos X \subset G, niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän G \ aliryhmä, joka sisältää joukon X \ . Tämä aliryhmä on
\bigcap \{ K \leq G | X \subset K \} \ ja sitä kutsutaan joukon X \ generoimaksi aliryhmäksi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]