Normaali aliryhmä

Ryhmäteoriassa normaali aliryhmä on aliryhmä, joka toteuttaa kaikilla $a \in G \$ ehdon

$aN = Na \$

eli mielivaltaisen alkion määräämät vasen ja oikea sivuluokka ovat samat. Aliryhmärelaatiota merkitään $N \vartriangleleft G. \,$ Normaalien ryhmien olemassaolo vaikuttaa suuresti ryhmän rakenteeseen. Lisäksi normaalien aliryhmien avulla voidaan konstruoida tekijäryhmiä.

Normaaliuskriteeri

Mikäli $N \leq G \$, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

• aliryhmä $N$ on normaali ryhmässä $G$,
• kaikilla $g \in G$ pätee, että $g^{-1}Ng \subset N$,
• kaikilla $g \in G$ pätee, että $g^{-1}Ng = N \$,
• $\left[ H,G \right] \leq H \,$ ja
• on olemassa sellainen ryhmä $H$ ja sellainen homomorfismi $f: G \rightarrow H$, että aliryhmä $N$ on ryhmän homomorfismin $f$ ydin eli

$N = \mathop{\mathrm{ker}}(f) = \{ x \in G \ | \ f(x) = 1 \}. \$

Koska ehdot ovat yhtäpitäviä, voitaisiin niistä mikä tahansa valita normaalin aliryhmän määritelmäksi. Monissa ryhmää vastaavissa algebran rakenteissa otetaan käyttöön viimeisen väitteen analogia, kun halutaan määritellä normaalia aliryhmää vastaava rakenne. Esimerkiksi luupeissa normaalin aliluupin määritelmä on usein helpointa tehdä luuppihomomorfismien avulla. Toisaalta kommutativiisia renkaita tutkittaessa normaalia aliryhmää vastaava rakenne on ideaali. Vaikka ideaalin määritelmä ei suoraan muistuta normaalin aliryhmän määritelmää, niin kommutatiivisen ryhmän osajoukko on ideaali jos ja vain jos se on jonkin rengashomomorfismin ydin.

Todistus eräälle normaaliuskriteerille

Monesti aliryhmän normaalisuus selvitetään käyttämällä nk. normaalisuuskriteeriä, jonka mukaan ryhmän $G$ aliryhmä $N$ on normaali, jos ja vain jos $ana^{-1} \in N \quad \forall a \in G, n \in N. \,$

Tämä normaalisuuskriteeri voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan aluksi, että $N$ on ryhmän $G$ normaali aliryhmä. Koska sivuluokat yhtyvät, voidaan valita mielivaltaiset sivuluokkien alkiot $an = ma \$, missä $m,n \in N$. Kertomalla tämä alkion $a \$ käänteisalkiolla, saadaan $ana^{-1}=m \in N. \$ Oletetaan sitten väitteen oikea puoli todeksi ja tutkitaan alkiota $a \in G. \$ Osoitetaan, että $aN=Na \$. Valitaan $n \in N \$ ja merkitään $ana^{-1}=m_1 \$, jossa $m_1 \in N \$. Kertomalla oikealta alkiolla $a \$ saadaan $an=m_1a \in Na \$. Siis $aN \subseteq Na \$. Tehdään samoin korvaamalla alkio $a \$ alkiolla käänteisalkiollaan. Siis $a^{-1}na=m_2 \$, $m_2 \in N \$, josta saadaan $na=am_2 \$ eli $Na \subseteq aN \$. Kokonaisuudessaan siis $Na = aN \$, eli aliryhmä $N$ on normaali.

Esimerkkejä ja ominaisuuksia

• Triviaali aliryhmä $\{ 1 \} \$ ja ryhmä itse ovat aina ryhmän normaaleja aliryhmiä.
• Ryhmän keskus $Z(G) \,$ on aina normaali ryhmässä $G. \,$
• Ryhmän derivaattaryhmät $G^{(k)} \,$, missä $k \in \N \,$ ovat aina normaaleja ryhmässä $G. \,$
• Abelin ryhmän jokainen aliryhmä on normaali.
• Jos aliryhmän $H \,$ indeksi ryhmässä on 2, niin $H \vartriangleleft G. \,$
• Jos ryhmän $G \,$ on äärellinen, p on ryhmän $G \,$ kertaluvun pienin alkutekijä ja aliryhmän $H \,$ indeksi ryhmässä on p, niin $H \vartriangleleft G. \,$
• Jos $N \vartriangleleft G, \,$ niin aliryhmän $N \,$ alkiot melkein kommutoivat muiden aliryhmään kuulumattomien alkioiden kanssa sillä jos $a \in G \,$ ja $n \in N, \,$ niin on olemassa sellainen alkio $m \in N, \,$ että $an=ma. \,$