Derivaattaryhmä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Derivaattaryhmä (tai derivoitu ryhmä, kommutaattorialiryhmä, derivaatta) merkitsee algebrassa ryhmän kaikkien kommutaattorien (eli muotoa  x^{-1} y^{-1} x y olevien alkioiden) generoimaa aliryhmää.

Ryhmän G derivaattaryhmää merkitään yleensä G', mutta kirjallisuudessa käytetään myös merkintöjä D(G), DG ja [G,G]. Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa \prod_{i=1}^n x_i^{-1}y_i^{-1}x_iy_i, missä n \geq 1 ja x_i,y_i \in G kaikilla i=1,\dots,n.

Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin f:G \rightarrow G_1 ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:

G' \leq H \leq G \quad \Leftrightarrow  \quad H \triangleleft G ja tekijäryhmä G/H on Abelin ryhmä.

Tämän perusteella G' \triangleleft G ja G/G' on Abelin ryhmä. Lisäksi G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.

Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät määritetään induktiivisesti. Ryhmän G kertalukua 2 oleva derivaattaryhmä G'' on ryhmän G' derivaattaryhmä. Yleisesti kertalukua k olevaa derivaattaryhmää merkitään G(k) ja se on ryhmän G kertalukua k-1 olevan derivaattaryhmän G(k-1) derivaattaryhmä, missä k on lukua 1 suurempi positiivinen kokonaisluku.

Derivoitu ketju[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ryhmän G derivoitu ketju on ääretön jono G \triangleright G' \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots. Mikäli G on äärellinen, täytyy jostain indeksistä n alkaen olla voimassa  G^{(n)} = G^{(n+1)} = ···. Jos tällöin G^{(n)} = \{ 1 \} , sanotaan, että G on ratkeava ryhmä. Vastaavalla tavalla äärettömän ryhmän sanotaan olevan ratkeava, jos sen jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain ykkösalkio.