Derivaattaryhmä

Derivaattaryhmä (tai derivoitu ryhmä, kommutaattorialiryhmä, derivaatta) merkitsee algebrassa ryhmän kaikkien kommutaattorien (eli muotoa $x^{-1} y^{-1} x y$ olevien alkioiden) generoimaa aliryhmää.

Ryhmän G derivaattaryhmää merkitään yleensä G', mutta kirjallisuudessa käytetään myös merkintöjä D(G), DG ja $[G,G]$. Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]^-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa $\prod_{i=1}^n x_i^{-1}y_i^{-1}x_iy_i$, missä $n \geq 1$ ja $x_i,y_i \in G$ kaikilla $i=1,\dots,n$.

Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin $f:G \rightarrow G_1$ ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:

$G' \leq H \leq G \quad \Leftrightarrow \quad H \triangleleft G$ ja tekijäryhmä $G/H$ on Abelin ryhmä.

Tämän perusteella $G' \triangleleft G$ ja $G/G'$ on Abelin ryhmä. Lisäksi G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.

Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät

Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät määritetään induktiivisesti. Ryhmän G kertalukua 2 oleva derivaattaryhmä $G''$ on ryhmän G' derivaattaryhmä. Yleisesti kertalukua k olevaa derivaattaryhmää merkitään G^(k) ja se on ryhmän G kertalukua k-1 olevan derivaattaryhmän G^(k-1) derivaattaryhmä, missä k on lukua 1 suurempi positiivinen kokonaisluku.

Derivoitu ketju

Ryhmän G derivoitu ketju on ääretön jono $G \triangleright G' \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots$. Mikäli G on äärellinen, täytyy jostain indeksistä n alkaen olla voimassa $G^{(n)} = G^{(n+1)} =$ ···. Jos tällöin $G^{(n)} = \{ 1 \}$, sanotaan, että G on ratkeava ryhmä. Vastaavalla tavalla äärettömän ryhmän sanotaan olevan ratkeava, jos sen jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain ykkösalkio.