Ydin (algebra)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ydin liittyy matematiikassa hyvin moniin eri osa-aloihin ja siksi sen määritelmä vaihtelee tapauksen mukaan. Kuva liittyy oleellisesti siihen, miten kuvaus, relaatio tm. yhteys käsitellään. Kuvauksia tarkastellessa ydin on niiden alkukuvien joukko, jotka kuvautuvat nollaksi. Nollalla on usein erityinen merkitys, se voi kuvaa mm. nolla-avaruutta tai laskutoimituksen neutraalialkiota.

Lineaarialgebrassa kuvaus vektoriavaruuksien välillä voidaan kuvata matriisien avulla ja muunnoksen kuva ja ydin liittyvät muunnosyhtälöryhmien ratkeavuuteen ja dimensioihin. Lineaarisilla kuvauksilla on suuri merkitys jo siksi, että analyysin perusoperaatiot derivaatta ja integraali ovat lineaarisia kuvauksia. Myös lineaarisia yhtälöryhmiä voidaan käsitellä lineaarisina kuvauksina.

Algebran kannalta lineaarikuvaus vektoriavaruuksien välillä liittyy laskutoimituksiin yhteen- ja kertolasku, sekä niiden neutraalialkioihin. Ne muodostavat ryhmähomomorfismin, tällöin ydin on niiden alkioiden kuva, jotka kuvautuvat neutraalialkiolle.


Kuvaus ja ydin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuvaus liittää joukon alkiot toisen joukon alkioihin yksikäsitteisesti. Joukkoja merkitään isoilla kirjaimilla, esim. A, B, U, V jne. Kuvausta merkitään yleensä f:llä (tai F:llä). Lähtöjoukon alkio x liittyy maalijoukon alkioksi f(x) , merkitään xf(x), jota voidaan myös merkitä y:ksi. x:ää kutsutaan alkukuvaksi ja maalijoukon alkioista muodostuu kuvajoukko, jota merkitään Im(f) tai Im f. Alkukuvaa voidaan merkitä f -1(y)=x. Ydin on niiden lähtöjoukon pisteiden joukko, jotka kuvautuvat maalijoukon nollaan ja sitä merkitään Ker(f) tai Ker f. Voidaan käyttää myös merkintää N(f) .

Joukko-oppia ja ydin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuvausta kutsutaan surjektioksi, kun lähtöavaruuden kuva on koko maalijoukko. Kuvaus on injektio, kun jokainen kuva-alkio on sama kuin toinen kuva vain, kun alkukuvat ovat samat. Jos kuvaus on sekä surjektio että injektio, se on bijektio. Lineaarinen kuvaus, joka on bijektio on isomorfismi, jonka lähtö- ja kuva-avaruuksien dimensiot ovat samat. Lineaarikuvaus on injektio silloin ja vain silloin, kun Ker (f) on nolla-alkio.


Lineaarikuvaus ja ydin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lineaarikuvaus kahden vektoriavaruuden välillä (alkiot vektoreita) välittää alkukuvan kertomisen vakiolla maalijoukon alkioon, joka saadaan samalla vakiolla kertomalla. Alkukuvien summa kuvautuu maalijoukossa kuvien summaksi. Yhdistettynä voidaan kirjoittaa L( t1 x1 + t2 x2 ) = t1 L(x1) + t2 L(x2), jossa L antaa kuvauksen lain, t1 ja t2 ovat reaalilukuja ja x1 ja x2 ovat vektoreita.

Lineaarikuvauksessa nimitetään ytimeksi kaikkien niiden lähtöjoukon pisteiden joukkoa, jotka kuvautuvat maalijoukon origolle. Ydintä merkitään Ker (L)=L-1 (0).

Kun vektoriavaruudet ovat äärellisiä, lineaarikuvausta voidaan kuvata käyttämällä yhtälöryhmiä, jossa kuvaus L : Rn → Rm kuvaa n-ulotteisen vektorin m-ulotteiseksi vektoriksi:

yi = \sum_{j=1}^n aij xj , i = 1, … , m. Muuttujat x1 , ... , xn ovat riippumattomia muuttujia ja y1 , ... , ym ovat riippuvia muuttujia, luvut aij ovat kertoimia. Vektoriavaruus voi olla laajemmin rationaalinen, reaalinen tai kompleksinen, riippuen kertoimista aij. Muunnos voidaan esittää myös tauluesityksen avulla ja kirjoittaa matriisiesityksen avulla, y=Ax, jossa A on kertoimien muodostama matriisi. Sitä voidaan kutsua myös tensoriksi. Muunnos voidaan kirjoittaa auki:


\begin{bmatrix}
  y_1         \\
\vdots \\
  \ y_m\\ 
  
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
  a_{11}      & \cdots & a_{1n}      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  a_{m1}      & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
  x_1         \\
\vdots \\
  \ x_n\\ 
  
\end{bmatrix}
.

Ytimen etsiminen vastaa tällaisen yhtälöryhmän ratkaisemista ja kuvan etsiminen niiden pisteiden etsimistä, joilla yhtälöryhmä ratkeaa. Ratkaisu voidaan käyttää täysin vaihdettua taulua eli ratkaistaan, miten riippumattomat muuttujat voidaan lausua riippuvien avulla. Tällöin saadaan ratkaisuna ytimelle ja kuvalle joko nolla, asteluvultaan pienempi aliavaruus tai koko avaruus. Ytimen ja kuvan asteluvun summa on lähtöavaruuden asteluku. Kuva-avaruuden dimensio eli ulottuvuus on A:n aste.

Lineaarista yhtälöryhmää vastaa homogeeninen lineaarinen yhtälöryhmä

\sum_{j=1}^n aij xj =0, i = 1, … , m.

Sen ratkaisu on N(A) eli A:n ydin. Jono (0, ... ,0) on homogeenisen yhtälön banaali ratkaisu ja se voi olla ainoa ratkaisu, näin on kun A on injektio.

Kun lähtöavaruuden dimensio on n ja maalijoukon p, kuvausmatriisin A aste on r, muodostavat homogeenisen yhtälön ratkaisut (n-r) -ulotteisen vektoriavaruuden ja vastaavan transponoidun homogenisen yhtälöryhmän (p-r) -ulotteisen vektoriavaruuden. Tärkeä erikoistapaus on n=p, jolloin A on säännöllinen, sen determinantti on nollasta eroava ja ydin on banaaliratkaisu eli nolla-alkio.

Mikäli banaali ratkaisu ei ole ainoa homogeenisen yhtälön ratkaisu, tulee ortogonaalisuusehdon täyttyä, eli kaikki transponoidun homogeenisen yhtälön ratkaisuvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektoreita sanotaankin lineaarisesti riippuviksi, mikäli ne voi lausua toistensa lineaarikombinaationa.

Lineaarimuunnosta muistuttaa affiini kuvaus, jossa lisätään vielä vektori b: y=Ax+b. Affiini kuvaus kuvaa suorat suoriksi, tasot tasoiksi jne.

Algebra ja lineaarikuvaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ryhmän alkiot ovat liitännäisiä eli assosiatiivisia laskutoimituksen τ suhteen, kun (xτy)τz=xτ(yτz). Alkion neutraalialkiolle e pätee x=xτe ja käänteisalkiolle y pätee xτy = yτx = e. Abelin ryhmälle pätee lisäksi vaihdannaisuus xτy=yτx eli kommutatiivisuus. Kun f:E→E' on kuvaus algebrallisten struktuurien (E,τ) ja (E',τ') välillä s.e. f(xτy)=f(x)τ'f(y), on se homomorfismi. Bijektiivinen homomorfismi on isomorfismi. Jos lisäksi E=E', se on automorfismi. Kun f(xτy)=f(x)τf(y) on kuvaus f ryhmähomomorfismi. Kun e on neutraalialkio E:ssä ja e’ E’:ssa, on Ker f =f-1(e’) ja Im f = f E.

Vektorialkioiden välillä voidaan laskea summa ja tulo, se on siis näiden alkioiden suhteen rengas, jonka ykköselementti on identtinen kuvaus. Summan suhteen kuvaus on myös Abelin ryhmä. Kun kuvauksella on vektoriavaruuden ja renkaan struktuuri, se on algebra.

Renkaan elementeille voidaan määritellä potenssit. Jos sen arvo on nollavektori, on se nilpontentti. Vektoriavaruuden alkioille voidaan määritellä potenssilausekekehitelmiä, projektioita, ominaisarvoja ja –vektoreita sekä kantoja. Tärkeä tapaus ovat ortogonaaliset eli kohtisuorat kannat. Jos lisäksi kannan alkioille on määritetty normi (kuvaa pituutta), joka on 1 kaikille kannan alkioille, on kanta ortonormaali. Yksi tärkeä erikoistapaus ovat Fourier’n sarjat (funktio esitetään ortonormaalin kannan ja Fourier-kertoimien avulla).

Ytimestä lisäksi muilla matematiikan aloilla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ytimen käsite voidaan liittää myös laajempiin tapauksiin, joissa neutraalialkiota ei ole tai integraalilaskentaan, jossa kahden muuttujan muodostama integraalin ydin määrittelee muunnoksen, kuten esimerkiksi Greenin funktio lämmönjohtumiselle. Tärkeä erikoistapaus on konvoluutio ja sen ydin, jossa integraalimuunnoksen ydin riippuu muuttujien differenssistä.

Todennäköisyysteoriassa ja tilastotieteessä ydin on stokastisen prosessin siirtymäfunktio. Sitä käytetään mm. signaalinkäsittelyssä. Ytimen avulla voidaan epälineaarinen operaattori muuntaa lineaariseksi. Diskreetti funktio (esim. mittaustulos) voidaan muuntaa konvoluution avulla sarjaksi. Funktioita voidaan käsitellä esittämällä ne kompleksilukusarjoina, jota käytetään funktioiden analyyttisyyttä tutkittaessa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lähde 1 Lehto Olli 1982. Funktioteoria I-II. Limes ry Helsinki.
  • Lähde 2 Miettinen Seppo K. 1978. Logiikan perusteet osa I. Gaudeamus Helsinki.
  • Lähde 3 Myrberg Lauri 1978. Algebra korkeakouluja varten. Kirjayhtymä Helsinki.
  • Lähde 4 Nevanlinna Rolf ja Paatero V. 1971. Funktioteoria. Otavan korkeakoulukirjasto Helsinki.
  • Lähde 5 Oikkonen Juha 1982 (toim.). Katsauksia matematiikan historiaan. Gaudeamus Helsinki.
  • Lähde 6 Suominen Kalevi ja Vala Klaus 1977. Topologia. Gaudeamus Helsinki.
  • Lähde 7 Vala Klaus 1980. Lineaarialgebra. Limes ry Helsinki.
  • Lähde 8 Väisälä K. 1975. Vektorianalyysi. WSOY Porvoo.
  • Lähde 9 Väliaho Hannu 1981. Lineaarialgebra. Gaudeamus Helsinki.