Sivuluokka

Jos $H$ on ryhmän $G$ aliryhmä ja $a \in G \$, niin ryhmän $G$ osajoukkoa

$aH = \left\{ ah | h \in H \right\}$

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän $H$ vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti osajoukkoa

$Ha = \left\{ ha | h \in H \right\}$

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän $H$ oikeaksi sivuluokaksi. Vasempia ja oikeita sivuluokkia kutsutaan yhteisellä nimellä sivuluokka, mikäli puolella ei ole merkitystä. Yleisessä tapauksessa tosin $aH \not = Ha \$. Aliryhmää $H$, jolla pätee $aH = Ha \$ kaikilla $a \in G \$ sanotaan ryhmän $G$ normaaliksi aliryhmäksi. Esimerkiksi kaikkien Abelin ryhmien aliryhmät ovat normaaleja.

Sivuluokilla on merkittävä osa ryhmäteoreettisissa tarkasteluissa. Sivuluokkien avulla voidaan esimerkiksi helposti todistaa Lagrangen lause ja ne esiintyvät myös ryhmän tekijäryhmien alkioina.

Ominaisuuksia

Olkoon $H$ on ryhmän $G$ aliryhmä ja $a,b \in G \$. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

• alkio b kuuluu alkion a määräämään aliryhmän $H$ vasempaan sivuluokkaan,
• $aH = bH \$ eli alkioiden a ja b määräämät aliryhmän $H$ vasemmat sivuluokat ovat samat,
• $Ha^{-1} = Hb^{-1} \$ eli alkioiden a ja b käänteisalkioiden määräämät aliryhmän $H$ oikeat sivuluokat ovat samat ja
• $a^{-1}b \in H. \$

Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu hyödylliseksi, sillä relaatio $a \sim b \ : a^{-1}b \in H \$ kaikilla $a,b \in G \$ on joukon $G$ ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän $H$ vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja

$G = \bigcup_{a \in G} aH \$

eli ryhmä $G$ voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä $H$ on eräs omista sivuluokistaan.

Koska funktio

$f: H \rightarrow aH, f(h) = ah \$

on bijektio kaikilla $a \in G \$, niin aliryhmällä $H$ on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli $H$ on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän $H$ kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota.

Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus

$g: \left\{ aH | a \in G \right\} \rightarrow \left\{ Ha | a \in G \right\}, f(aH) = Ha^{-1} \$

on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän $H$ vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän $H$ vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän $H$ oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän $H$ indeksiksi ryhmässä $G$.

Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli $H \leq G \$ ja aliryhmän indeksi ryhmässä $G$ on n, niin voidaan valita sellaiset alkiot $t_1, t_2, \ldots, t_n \in G \$, että lista $t_1H, t_2H, \ldots, t_nH$ sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista $Ht_1, Ht_2, \ldots, Ht_n$ sisältää kaikki oikeat sivuluokat.

Muuta huomionarvoista

Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä $aH$ ja $Ha$, additiivisessa $a + H$ ja $H + a$. Tässä merkinnässä $H$:n paikalle ajattellaan sijoitetuksi jokainen $H$:n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot.

Erityisesti renkaiden ollessa kyseessä sivuluokkia kutsutaan myös jäännösluokiksi.