Lagrangen indeksilause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lagrangen indeksilause tai Lagrangen lause on ryhmäteorian perustulos, jonka perusteella äärellisen ryhmän aliryhmän kertaluku jakaa tasan ryhmän kertaluvun. Nimestä huolimatta on hyvin todennäköistä, että sen ensimmäiseksi todisti Évariste Galois.[1]

Lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon G äärellinen ryhmä ja H ryhmän G aliryhmä. Tällöin kertaluku  \left| H \right| jakaa tasan kertaluvun  \left| G \right| ja

 \left| G \right| = n \left| H \right| ,

missä luku n on aliryhmän H indeksi ryhmässä G.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että G on äärellinen ryhmä ja H on ryhmän G aliryhmä, jonka indeksi ryhmässä G on n. Määritellään joukon <G> relaatio ~: a ~ b jos ja vain jos

ab^{-1} \in H \ \forall \ a,b \in G .

Kyseessä on ekvivalenssirelaatio, joten ryhmän G alkiot jakaantuvat keskenään pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin. Nämä ekvivalenssiluokat ovat nyt aliryhmän H määräämät vasemmat (tai oikeat) sivuluokat

 aH = \{ ah \ | \ h \in H \} .

Tunnetusti nyt

G = H \cup a_2 H \cup a_3 H \cup \ldots \cup a_n H \ ,

missä alkiot a_2, a_3, \ldots , a_n \in G \ ja kyseiset sivuluokat ovat keskenään pistevieraita. Koska jokaisessa sivuluokassa on yhtä monta alkiota pätee väite

 \left| G \right| = n \left| H \right| , \

missä luku n oli aliryhmän H indeksi ryhmässä G. Lauseen toinen väite seuraa nyt suoraan kokonaislukujen jaollisuuden määritelmästä.

Seurauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lagrangen lauseen nojalla äärellisen ryhmän aliryhmien kertaluvut eivät voi olla mitä tahansa lukuja, vaan niiden täytyy rajoittua ryhmän kertaluvun jakajiin. Erityisenä seurauksena tämän perusteella ryhmän alkion g kertaluku, joka määritellään alkion g generoiman syklisen ryhmän kertaluvuksi, jakaa tasan koko ryhmän kertaluvun.

Lagrangen lauseen käänteistulos ei päde yleisesti äärellisille ryhmille, sillä on olemassa ryhmiä, joilla ei ole kertalukua n olevia aliryhmiä, vaikka luku n jakaisikin ryhmän kertaluvun. Kertaluvultaan pienin esimerkki on alternoiva ryhmä A4. Se on kertalukua 12 oleva ryhmä, mutta sillä ei ole kertalukua 6 olevaa aliryhmää. Kuitenkin Lagrangen lauseen käänteistulos pätee esimerkiksi kaikille Abelin ryhmille.

Lagrangen lauseen käänteistulokselle on useita kuuluisia heikennyksiä. Sylowin lauseet takaavat kertalukua pk olevan aliryhmän olemassaolon, mikäli p on alkuluku, k on luonnollinen luku ja luku pk jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita äärellisille ratkeaville ryhmille.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Rotman, Joseph J.: An Introduction to the Theory of Groups, 4th edition, sivu 26. Springer-Verlag New York, Inc. 1995