Sylowin lauseet

Ryhmäteoriassa Sylowin lauseet ovat osittainen käänteistulos Lagrangen lauseelle. Ne takaavat, että äärellinen ryhmä $G$ sisältää tiettyjä p-ryhmiä ja kuvailevat niiden ominaisuuksia.

Sylowin lauseilla on lukuisia sovelluksia äärellisten ryhmien teoriassa, esimerkiksi tarkasteltaessa ryhmän ratkeavuutta tai yksinkertaisuutta. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita ratkeaville ryhmille.

Sylowin lauseet

Olkoon seuraavassa $G$ äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on $p^na, \,$ missä $p \,$ on alkuluku, $n \in \Z_+ \,$ ja $p \,$ ei jaa lukua $a. \,$

Lause 1. Ryhmällä $G$ on kertalukua $p^l, \,$ missä $0 \leq l \leq n,$ oleva aliryhmä.

Ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua $p^n \,$ olevia aliryhmiä. Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos $H \leq G \,$ on kertalukua $p^l, \,$ missä $0 \leq l \leq n,$ oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmä $P$ ja sellainen alkio $g \in G, \,$ että $g^{-1}Hg \leq P. \,$ Erityisesti ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos $n_p \,$ on ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin

• $n_p = \left[ G : N_G(P) \right] \,$, missä $P$ on ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmä, erityisesti $n_p \,$ jakaa tasan luvun $a \,$ ja
• $n_p \equiv 1 \ (mod \ p). \,$

Seurauksia

Sylowin ensimmäinen lause sisältää erikoistapauksenaan Cauchyn lauseen, jonka mukaan jos alkuluku $p \,$ jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin tällä ryhmällä on kertalukua $p \,$ oleva aliryhmä.

Koska funktio $f: G \rightarrow G, f(x) = g^{-1}xg \,$ on ryhmäisomorfia kaikilla $g \in G \,$, niin toisen lauseen suorana seurauksena ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Lisäksi äärellisellä ryhmällä on täsmälleen yksi Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos ryhmällä on normaali Sylowin p-aliryhmä.

Sylowin kolmatta lausetta voidaan käyttää monenlaisissa äärellisten ryhmien rakennetta tutkivissa tarkasteluissa, kunhan tiedetään jotain ryhmän kertaluvusta.

Esimerkki sovelluksesta

Olkoon $G$ äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on kahden erisuuren alkuluvun $p \,$ ja $q \,$ tulo. Tällöin ryhmä $G$ ei ole yksinkertainen.

Voidaan olettaa, että $p > q \,$. Olkoon $n_p \,$ on ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Kolmannen Sylowin lauseen nojalla luku $n_p \,$ jakaa alkuluvun $q. \,$ Jos $n_p = q, \,$ niin edelleen $q= n_p \equiv 1 \ (mod \ p) \,$ eli alkuluku $p \,$ jakaa tasan luvun $q-1. \,$ Tämä on ristiriita oletuksen $p > q \,$ kanssa, joten täytää päteä $n_p = 1. \,$ Täten ryhmän $G$ ainoa Sylowin p-aliryhmä on normaali. Täten ryhmä $G$ ei ole yksinkertainen.