Sylowin lauseet

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ryhmäteoriassa Sylowin lauseet ovat osittainen käänteistulos Lagrangen lauseelle. Ne takaavat, että äärellinen ryhmä G sisältää tiettyjä p-ryhmiä ja kuvailevat niiden ominaisuuksia.

Sylowin lauseilla on lukuisia sovelluksia äärellisten ryhmien teoriassa, esimerkiksi tarkasteltaessa ryhmän ratkeavuutta tai yksinkertaisuutta. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita ratkeaville ryhmille.

Sylowin lauseet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon seuraavassa G äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on p^na, \, missä p \, on alkuluku,  n \in \Z_+ \, ja p \, ei jaa lukua a. \,

Lause 1. Ryhmällä G on kertalukua p^l, \, missä 0 \leq l \leq n, oleva aliryhmä.

Ryhmän G Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua p^n \, olevia aliryhmiä. Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos H \leq G \, on kertalukua p^l, \, missä 0 \leq l \leq n, oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä P ja sellainen alkio g \in G, \, että  g^{-1}Hg \leq P. \, Erityisesti ryhmän G Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos n_p \, on ryhmän G Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin

  • n_p = \left[ G : N_G(P) \right] \, , missä P on ryhmän G Sylowin p-aliryhmä, erityisesti n_p \, jakaa tasan luvun a \, ja
  • n_p \equiv 1 \ (mod \ p). \,

Seurauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sylowin ensimmäinen lause sisältää erikoistapauksenaan Cauchyn lauseen, jonka mukaan jos alkuluku p \, jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin tällä ryhmällä on kertalukua p \, oleva aliryhmä.

Koska funktio f: G \rightarrow G, f(x) = g^{-1}xg \, on ryhmäisomorfia kaikilla g \in G \, , niin toisen lauseen suorana seurauksena ryhmän G Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Lisäksi äärellisellä ryhmällä on täsmälleen yksi Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos ryhmällä on normaali Sylowin p-aliryhmä.

Sylowin kolmatta lausetta voidaan käyttää monenlaisissa äärellisten ryhmien rakennetta tutkivissa tarkasteluissa, kunhan tiedetään jotain ryhmän kertaluvusta.

Esimerkki sovelluksesta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon G äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on kahden erisuuren alkuluvun p \, ja  q \, tulo. Tällöin ryhmä G ei ole yksinkertainen.

Voidaan olettaa, että p > q \, . Olkoon n_p \, on ryhmän G Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Kolmannen Sylowin lauseen nojalla luku n_p \, jakaa alkuluvun q. \, Jos n_p = q, \, niin edelleen q= n_p \equiv 1 \ (mod \ p) \, eli alkuluku p \, jakaa tasan luvun q-1. \, Tämä on ristiriita oletuksen p > q \, kanssa, joten täytää päteä n_p = 1. \, Täten ryhmän G ainoa Sylowin p-aliryhmä on normaali. Täten ryhmä G ei ole yksinkertainen.