Syklinen ryhmä

Syklinen ryhmä on yhden alkion generoima ryhmä. On siis olemassa ryhmän $G$ alkio $a$ , jonka kokonaislukupotensseina saadaan kaikki ryhmän alkiot. Siis jokaista ryhmän $G$ alkiota $g$ kohti on olemassa sellainen kokonaisluku $k$ , että $a^k =g. \$ Tällöin merkitään

$G = \langle a \rangle = \left\{ a^n \ | \ n \in \Z \right\}. \$

Ei-triviaaleja syklisiä ryhmiä löytyy aliryhminä kaikista ei-triviaaleissa ryhmissä. Sykliset ryhmät ovat rakenteeltaan hyvin suoraviivaisia ja esimerkiksi syklisen ryhmän aliryhmiin liittyvä rakenne tunnetaan täysin. Äärellisten ryhmien teoriassa syklisten ryhmien voidaan ajatella olevan Abelin ryhmien rakennuspalikoita suorien tulojen kautta ja ratkeavien ryhmien perusosasia kompositioketjun tekijöinä.

Syklinen ryhmä voi koostua joko n:stä alkiosta $C_n = \langle c \rangle = \left\{1,c,...,c^{n-1}\right\}$ , tai se voi olla ääretön ryhmä $C_\infty = \langle c \rangle = \left\{c^m |\ m\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Kertalukua $n$ olevan syklisen ryhmän konstruointi [muokkaa]

Olkoon $X \$ mielivaltainen $n$ alkiota sisältävä joukko, missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Numeroidaan joukon alkiot

$X = \left\{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} \right\}$

ja asetetaan joukkolle $X \$ binäärinen operaatio $* \$ seuraavasti:

$x_k * x_l =x_{k+l}, \$ mikäli $k+l \leq n-1$ ja

$x_k * x_l =x_{k+l-n}, \$ mikäli $k+l > n-1 \$

kaikilla kokonaisluvuilla $0 \leq k,l \leq n-1 . \$ Kokonaislukujen laskutoimitusten nojalla pari $(X,*) \$ toteuttaa ryhmän aksioomat. Tällöin alkio $x_0 \$ on ryhmän neutraalialkio, alkion $x_k, 1 \leq k \leq n-1 \$ käänteisalkio on alkio $x_l, \$ missä $l=n-k.\$ Lisäksi alkio $x_1 \$ generoi ryhmän $X. \$

Syklisten ryhmien ominaisuuksia [muokkaa]

Sykliset ryhmät ovat kommutatiivisia, ts. Abelin ryhmiä.
Kaikki syklisen ryhmän aliryhmät ja tekijäryhmät ovat syklisiä.
Kaksi äärellistä ryhmää ovat keskenään isomorfisia jos ja vain jos niiden kertaluvut ovat samat. Erityisesti siis kaikki kertalukua $n$ olevat äärelliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia.
Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on välttämättä syklinen.
Äärellinen syklinen ryhmä on yksinkertainen jos ja vain jos sen kertaluku on alkuluku. Itse asiassa ryhmät, joiden kertaluku on alkuluku, ovat ainoat äärelliset yksinkertaiset ratkeavat ryhmät.

Olkoon jatkossa $C_n = \langle c \rangle$ kertalukua $n$ oleva syklinen ryhmä.

Jokaista kertaluvun $n$ jakajaa $k$ kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän $C_n \$ kertalukua $k$ oleva aliryhmä. Jos $n=km$ , missä $m$ on positiivinen kokonaisluku, niin tämä kertalukua $k$ oleva aliryhmä on $\langle c^m \rangle .$
Jokaista kertaluvun $n$ jakajaa $k$ kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän $C_n \$ kertalukua $k$ oleva tekijäryhmä.
Ryhmän $C_n \$ automorfismien ryhmä on isomorfinen ryhmän $\Z_n^*$ kanssa.