Pinta-alavektori

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Pyöreän, tasomaisen levyn pinta-alavektori

Pinta-alavektori tai suunnattu pinta-ala on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) , niin sen pinta-alavektori on

.[1][2]

Suunnistuvan pinnan pinta-alavektori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia, ja , jotka ovat toistensa vastavektorit (). Pinta on suunnistettu, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä tai .[3] Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.[4]

Jos on avoin joukko ja pinnalla on parametriesitys jokaisessa pisteessä , niin pinnan yksikkönormaalit ovat

.[3][5]

Mikäli pinta voidaan esittää funktion kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit

.[3][5]

Etumerkki vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.[5]

Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan pitää olla muotoa

,

missä joukot ovat keskenään pistevieraita ja sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta on suunnistettu, jos osat suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.[6]

Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.[4]

Pintaelementtivektori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksikköpallo on paloittain sileä pinta, joka koostuu pallon ylä- ja alapuolikkaista ja sekä puolikkaita yhdistävästä ympyrärenkaasta . Pallopinta voidaan suunnistaa valitsemalla yksikkönormaalin suunta kummallakin puolikkaalla esimerkiksi pinnan ulkopuolelle. Huomaa tällöin pintaelementtivektorin suunta.

Jos on avoin joukko ja on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien ja avulla , niin pinnalle voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen pintaelementtivektori

,

missä tai riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta. on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.[5]

Mikäli pinta voidaan esittää implisiittisesti funktion kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

,

missä on vektorin -komponentti.[5] Ts. . Etumerkki valitaan siten, että pinnan suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen -akselin suuntaan, valitaan etumerkki .[5]

Mikäli pinta voidaan esittää funktion kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

,

missä etumerkki valitaan kuten edellä.[5]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmion muotoisen tasopinnan pinta-alavektori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

-tasossa makaavan suorakulmion pinta-alavektori

Suorakulmio makaa -tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat , , ja (). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio . Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat

.

Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen -akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali . Pinta-alavektori on tällöin

.

Pinta-alavektori ristitulon avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektorien ja virittämän suunnikkaan pinta-alavektori on niiden ristitulovektori

Tarkastellaan :n vektoreita ja . Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat ja . Vektorien välillä on mitattavissa kulma . Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys , missä ja . Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin

.

Vektorien ja virittämän suunnikkaan pinta-ala on

.

Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on tällöin

.

Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan , joten

.

Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan

.

Pallopinnan pintaelementtivektori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö . Muodostetaan pallopinta siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta (yläpuoli, jossa ) ja (alapuoli, jossa ) sekä näitä yhdistävästä -säteisestä ympyrärenkaasta . Tällöin ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.

Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta

missä ja .[7]

Pinnan parametriesitys on

.

Pintaelementtivektori on tällöin

Koska , niin vektori kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään . Siis pallopinnan pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on



Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Hänninen, Jari J.: ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op): Luentokalvot 2 (PDF) 2.3.2016. Aalto-yliopisto. Viitattu 14.6.2019.
  2. Knight, Randall D.: Physics for Scientists and Engineers, A Strategic Approach with Modern Physics, s. 885. 3. painos. Pearson, 2014. ISBN 978-1-292-02078-5. (englanniksi)
  3. a b c Purmonen, Veikko T.: Integraalilaskentaa, s. 109. 2. uudistettu painos. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 1998. ISBN 951-39-0162-9.
  4. a b Knight, s. 898−899
  5. a b c d e f g Knight, s. 901−902
  6. Purmonen, s. 111
  7. Purmonen, s. 47