Jordanin käyrälause
Jordanin käyrä on topologiassa jokainen sellainen tasossa oleva käyrä, joka muodostaa suljetun silmukan eikä leikkaa itseään. Jordanin käyrälause on topologinen lause, jonka mukaan jokainen Jordanin käyrä jakaa tason kahteen osaan, "sisäpuoleen" ja "ulkopuoleen", joiden välisenä rajana se on, niin että jokainen polku, joka yhdistää toisinaan kaksi sen eri puolilla olevaa pistettä, leikkaa Jordanin käyrän vähintään yhdessä pisteessä. Vaikka tämä lause näin esitettynä vaikuttaa intuitiivisesti selvältä, sitä ei ole helppo todistaa alkeellisilla menetelmillä. Sen selvimmät todistukset perustuvat algebralliseen topologiaan, ja samaan tapaan lause voidaan yleistää myös useampiulotteisiin avaruuksiin.
Jordanin käyrälause on saanut nimensä matemaatikko Camille Jordanin mukaan, joka esitti sen ensimmäisen todistuksen. Useiden vuosikymmenien ajan oltiin yleisesti sitä mieltä, että hänen todistuksensa oli virheellinen ja että ensimmäisen pätevän todistuksen lauseelle muotoili Oswald Veblen. Tämän käsityksen on kuitenkin kyseenalaistanut muun muassa Thomas C. Hales.
Määritelmät ja lauseen muotoilu
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Tasossa Jordanin käyrä C eli yksinkertainen suljettu käyrä on ympyrän kuva injektiivisessä jatkuvassa kuvauksessa tasoon: φ: S1 → R2. Vastaavasti Jordanin kaari tasossa on suljetun välin kuva jatkuvassa injektiossa.
Vaihtoehtoisesti Jordanin käyrä voidaan määritellä sellaisena jatkuvana kuvauksena φ: [0,1] → R2, että φ(0) = φ(1) ja että φ:n rajoittuma puoliavoimelle välille [0,1) on injektio. Kaksi ensimmäistä ehtoa merkitsevät, että C on jatkuva silmukka, kun taas jälkimmäinen ehto edellyttää, että C ei leikkaa itseään yhdessäkään pisteessä.
Jordanin käyrälause voidaan täsmällisesti ilmaista seuraavasti:
Olkoon C Jordanin käyrä tasossa . Tällöin sen komplementti koostuu täsmälleen kahdesta yhtenäisestä komponentista. Toinen komponenteista on rajoitettu (sisäpuoli), toinen rajoittamaton (ulkopuoli), ja käyrä C on molempien reuna.
Lisäksi Jordanin käyrän komplementti tasossa on yhtenäinen.
Todistus ja yleistyksiä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Jordanin käyrän yleistivät useampaan ulottuvuuteen toisistaan riippumatta H. Lebesgue ja L. E. J. Brouwer vuonna 1911 esittäen Jordanin-Brouwerin erottelulauseen:
Olkoon X topologinen pallo n+1 -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa n+1, toisin sanoen joukko, joka saadaan kuvaamalla n-pallo Sn injektiivisellä jatkuvalla kuvauksella avaruuteen n+1. Tällöin sen komplementti avaruudessa n+1, muodostuu täsmälleen kahdesta yhtenäisestä komponentista, joista toinen on rajoitettu (sisäpuoli), toinen rajoittamaton (ulkopuoli). Joukko X on molempien reuna.
Todistuksessa käytetään homologiateoriaa. Ensin osoitetaan yleisemmin, että jos X on homeomorfinen k-pallon kanssa, joukon Y = n+1 \ X redusoidut homologiaryhmät ovat
Tämä voidaan todistaa induktiolla k:n suhteen käyttämällä Mayer-Vietorisin sarjaa. Kun n = k, Y:n nollas redusoitu homologiaryhmä on astetta 1, mikä merkitsee, että Y:llä on kaksi komponenttia, jotka sitä paitsi ovat polkuyhtenäisiä, ja voidaan myös osoittaa, että niiden yhteinen reuna on X.
Erään yleistyksen esitti James Waddell Alexander, joka osoitti Alexanderin dualiteetin n+1:n kompaktin osajoukon X ja sen komplementin redusoidun kohomologian välillä. Jos X on n-ulotteinen reunaton monisto avaruudessa n+1 (tai avaruudessa Sn+1), sen komplementilla on kaksi komponenttia.
Eräs Jordanin käyrän laajennus on Jordanin-Schönfliesin lause, jonka mukaan Jordanin käyrän sisä- ja ulkopuolella olevat alueet tasossa ovat homeomorfiset yksikkökiekon sisä- ja ulkopuolen kanssa. Erityisesti jokainen piste P Jordanin käyrän sisäpuolella voidaan yhdistää mihin tahansa pisteeseen A Jordanin kaarella siten, että kaikki kaaren pisteet päätepistettä A lukuun ottamatta ovat Jordanin käyrän sisäpuolisella alueella. Yhtäpitävästi Jordanin-Schönfieldin lause voidaan muotoilla niin, että jokainen kuvaus φ, joka määrittelee Jordanin käyrän, φ: S1 → , missä S on yksikköympyrä, voidaan laajentaa homeomorfismiksi ψ: → .
Toisin kuin Jordanin käyrälausetta, Jordanin-Schönfliesin lausetta ei voida yleistää useampaan ulottuvuuteen: vaikka yksikköpallon ulkopuoli on yhdesti yhtenäinen, on olemassa pintoja, jotka kyllä ovat homeomorfisia pallopinnan kanssa mutta muodoltaan niin taivutettuja, että niiden komplementin rajoittamaton komponentti :ssa ei ole yhdesti yhtenäinen eikä siten homeomorfinen yksikköpallon ulkopuolen kanssa.
Historia ja muita todistuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Jordanin käyrälause saattaa ensi kuulemalta vaikuttaa selvältä, mutta se on jokseenkin vaikea todistaa. Bernard Bolzano oli ensimmäinen, joka muotoili asian tämällisenä konjektuurina huomaten, ettei asia ollut itsestään selvä vaan edellytti todistusta. On helppoa osoittaa tämä tulos ympyrälle, ja melko helppoa myös monikulmion muotoisille viivoille, mutta vaikeus ilmeni yleistettäessä se erilaisille tarpeeksi monimutkaisille käyrille, joita ovat esimerkiksi ei-missään derivoituvat käyrät kuten Kochin käyrä ja muut fraktaaliset käyrät sekä myös Osgoodin käyrä, jolla on positiivinen pinta-ala.
Ensimmäisen todistuksen lauseelle esitti Camille Jordan reaalianalyysistä pitämillään luennoilla, ja hän julkaisi sen kirjassaan Cours d'analyse de l'École Polytechnique.[1] On jossain määrin kiistelty siitä, onko Jordanin todistus täydellinen: enemmistö kommentoijista on väittänyt, että ensimmäisen täydellisen todistuksen esitti Oswald Veblen, joka sanoi Jordanin todistuksesta:
»Hänen todistuksensa on kuitenkin monien matemaatikkojen mielestä epätyydyttävä. Hän esittää teorian todistamatta sitä yksinkertaisten monikulmioiden muodostamalle tärkeälle erikoistapaukselle, ja siitä eteenpäin todistuksesta on myönnettävä, että ainakaan kaikkia yksityiskohtia ei ole esitetty.[2]»
Thomas C. Hales kuitenkin kirjoitti:
»Melkein kaikki modernit sitaatit, jotka olen löytänyt, ovat yhtä mieltä siitä, että ensimmäisen pätevän todistuksen esitti Veblen... Koska Jordanin todistusta on ankarasti arvosteltu, yllätyin lukiessani hänen todistuksensa ja huomatessani, etten löytänyt siitä mitään huomautettavaa. Siitä lähtien olen ottanut yhteyttä moniin kirjoittajiin, jotka ovat arvostelleet Jordania, ja kaikki kirjoittajat ovat myöntäneet, ettei heillä ole suoraa tietoa virheestä Jordanin todistuksessa. [3]»
Hales huomautti myös, että yksinkertaisten monikulmioiden erikoistapaus ei ole vain helppo harjoitus, vaan Jordan ei sitä todella käyttänyt, ja hän totesi Michael Reekeniä lainaten:
»Jordanin todistus on oleellisesti oikea.. Jordanin todistus ei esitä yksityiskohtia tyydyttävällä tavalla. Mutta ajatus on oikea, ja tietyillä viilauksilla siitä saadaan kiistämätön.[3]»
Jordanin todistusta samoin kuin de la Vallée-Poussinin samalle lauseelle esittämää todistusta analysoi myöhemmin kriittisesti Schoenflies vuonna 1924 ja samalla täydensi niitä.
Koska Jordanin käyrälause on tärkeä matalaulotteisessa topologiassa ja kompleksianalyysissa, se sai 1900-luvun alkupuolen johtavilta matemaatikoilta osakseen runsaasti huomiota. Vaihtoehtoisia todistuksia ja yleistyksiä lauseelle ovat esittäneet James Waddell Alexander, Louis Antoine, Bieberbach, Luitzen Brouwer, Denjoy, Hatrogs, Kerékjártó, Alfred Pringsheim ja Schönflies. Uusia todistuksia ja aikaisempien todistuksien yksinkertaisempia versioita esitetään edelleen.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Jordan, Camille: Cours d'analyse de l'École Polytechnique, s. 587–594. Gauthier-Villars, 1887. Teoksen verkkoversio.
- ↑ Veblen, Oswald: Theory on Plane Curves in Non-Metrical Analysis Situs, s. 83–98. American Mathematical Society, 1905.
- ↑ a b Hales, Thomas C.: Jordan's Proof of the Jordan Curve Theorem. Studies in Logic, Grammar and Rethorics, 2007, nro 10 (23). Artikkelin verkkoversio.
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 168. Suomentanut Virpi Kauko. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
Aiheesta muualla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Täydellinen 6500-rivinen muodollinen todistus Jordanin käyrälauseelle Mizar-sivustolla
- Collection of proofs of the Jordan curve theorem (Andrew Ranickin kotisivu)
- Yksinkertainen todistus Jordanin käyrälauseelle (PDF), David B. Gauld
- Lauseen sovelluksia tietojenkäsittelytieteessä – Determining If A Point Lies On The Interior Of A Polygon (Arkistoitu – Internet Archive), Paul Bourke