Homologia

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa homologia on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kytketyn moduulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.

Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin–Steenrodin aksioomat.

Yleinen rakennelma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi , joka sisältää jotain tietoa :stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja

,

missä ja , niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että , ja voidaan rakentaa tekijäryhmä , jonka sanotaan olevan . homologiaryhmä :stä.

Singulaarinen homologia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi -simpleksi on joukko vektoreita -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa

ja -simpleksi topologisessa avaruudessa on jatkuva kuvaus :stä :ään:

:n reuna on määritelty formaaliksi summaksi rajoitettu :n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos on viiva , niin silloin ja . Olkoon rengas. Tällöin voidaan konstruoida -moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki -simpleksejä :ssä . Nyt meillä on -moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta sanotaan -reunoiksi ja kuvausta sanotaan -sykleiksi . :n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten (eli jokaiselle :lle).

Eksakteja jonoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eksakti jono on moduleista muodostunut jono

,

missä . Seuraavat jonot ovat tärkeitä:

eli ;

eli ja ovat isomorfisia.

Jos , , ja ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono

eli

jokaiselle :lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono

Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

Kategorinen näkökulma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna on kovariantti funktori. Siis jos ja ovat samassa kategoriassa , ja on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa vie :n :iin. Usein kirjoitetaan .

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan. Jos on ketju jossain topologisessa avaruudessa , ja on jatkuva kuvaus, niin summa on ketju :ssä. Näin :stä tule homomorfismi .

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia osa II, s. 874-876. Suom. Kimmo Pietiläinen. Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]