Eilenbergin–Steenrodin aksioomat

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Eilenbergin–Steenrodin aksioomat ovat kokoelma ominaisuuksia, jotka topologisten avaruuksien tutkimiseen käytettävien homologiateorioiden on toteutettava. Nämä ominaisuudet toteuttavat teoriat tuottavat samat keskeiset tulokset ja samat homologiset ominaisuudet samoille topologisille avaruuksille.

Aksioomien tuoma hyöty on kahtalainen: Ennen kuin Samuel Eilenberg ja Norman Steenrod tunnistivat ja kokosivat aksioomat, erilaisia homologiateorioita oli paljon, eikä perusteellisesti ymmärretty miksi ne tuottavat samat tulokset. Toisaalta erilaisia teorioita (kuten simpleksihomologia, singulaarinen homologia ja Čechin homologia) tarvitaan koska kaikkia topologisia avaruuksia ei voida - eikä kannata - analysoida samoilla homologiateorioilla, ja aksioomien toteutuminen takaa että jos jokin avaruus voidaan analysoida kahdella eri homologiateorialla, ne tuottavat samat tulokset.

Formaalisti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aksioomat koskevat topologisten avaruuksien pareja joissa on :n aliavaruus, sekä perhettä funktoreita , jotka liittävät kuhunkin pariin perheen Abelin ryhmiä (nämä ovat parin homologiaryhmät). Lisäksi se koskee reunahomomorfismien indusoimia kuvauksia . Homologiaryhmät käytännössä lasketaan reunahomomorfismeista, mutta tässä yleisessä yhteydessä niitä ei ilmaista suoraan vaan em. kuvauksella.

  1. Homotopia-aksiooma: Keskenään homotopiset kuvaukset parilta parille indusoivat samat homomorfismit homologiarymiltä homologiarymille .
  2. Poistoaksiooma: Jos U on parin (X, A) X:n osajoukko s.e. U:n sulkeuma on A:n sisäpisteistön osajoukko, inkluusiokuvaus indusoi isomorfismin homologiaryhmien ja välille (eli rymät ovat rakenteeltaan tarkalleen samanlaisia).
  3. Dimensioaksiooma: Jos P on yhden pisteen avaruus, pätee kaikille .
  4. Additiivisuusaksiooma: Jos pätee, tällöin pätee myös
  5. Eksaktisuusaksiooma: Jokainen pari (X, A) indusoi pitkän homologiajonon inkluusiokuvauksille ja :