Polku (topologia)

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Polkuyhtenäinen avaruus (vihreällä) ja kaksi polun yhdistämää pistettä.

Polku on topologian käsite, joka kuvaa yhteyttä kahden pisteen välillä jossakin topologisessa avaruudessa. Täsmällisemmin määriteltynä polku pisteestä pisteeseen avaruudessa on sellainen jatkuva kuvaus

että ja .[1] Tällöin on polun alkupiste, on sen loppupiste, ja polku yhdistää pisteet ja .[2][3]

Intuitiivisesti voi ajatella, että polkufunktion argumentti on aikakoordinaatti , ja funktio kuvaa pisteen liikkumista käyrää pitkin ajan kuluessa. Alkuhetkellä piste on polun alkupisteessä , ja liikkuu sitten jotakin käyrää (polkufunktion kuvajoukkoa) pitkin jatkuvasti, ilman hyppäyksiä, kunnes loppuhetkellä se on polun loppupisteessä .[4]

Koska reaalilukuväli on yhtenäinen, niin jatkuva kuvaus kuvaa sen yhtenäiseksi joukoksi maaliavaruudessa .[3] Niinpä polun yhdistämät pisteet kuuluvat samaan yhtenäiseen komponenttiin (intuitiivisesti: yhtenäinen aliavaruus ei voi ulottua epäyhtenäisessä avaruudessa olevan ”aukon” yli[2]). Topologinen avaruus on polkuyhtenäinen, jos sen minkä tahansa kahden pisteen välillä on olemassa polku. Topologian perustuloksiin kuuluu, että jos avaruus on polkuyhtenäinen, niin se on myös yhtenäinen. Käänteinen ei päde: on olemassa yhtenäisiä avaruuksia, jotka eivät kuitenkaan ole polkuyhtenäisiä. Klassinen esimerkki on topologin sinikäyrä.[2][5]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Path Encyclopedia of Mathematics. Springer & European Mathematical Society. Viitattu 29.9.2020. (englanniksi)
  2. a b c Ojanperä, Arttu (Eero Hyryn luentojen mukaan): Topologia (Luentomateriaali. Sivut 60–63) 2013. Tampereen yliopisto, Informaatiotieteiden yksikkö. Viitattu 1.10.2020.
  3. a b Parkkonen, Jouni: Metriset avaruudet ja Topologia (Luentomateriaali. Sivut 64–65) 2018. Jyväskylän yliopisto. Viitattu 1.10.2020.
  4. Freiwald, Ronald C.: An Introduction to Set Theory and Topology, s. 221–225. Saint Louis, Missouri: Washington University in St. Louis, 2014. ISBN 978-1-941823-10-1. Teoksen verkkoversio (viitattu 1.10.2020). (englanniksi)
  5. Barile, Margherita: Topologist's Sine Curve MathWorld. Wolfram Research. Viitattu 1.10.2020. (englanniksi)