Topologin sinikäyrä
Topologin sinikäyrä on tason pistejoukko, jonka muodostavat suorien x = 0 ja x = 1 väliin jäävä osa funktion y = sin (1/x) kuvaajasta sekä origo. Topologisena avaruutena sillä on joukko erikoisia ominaisuuksia, joiden vuoksi sitä käytetään usein esimerkkinä oppikirjoissa.
Matemaattinen määritelmä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Topologin sinikäyrä voidaan määritellä sellaisen funktion f kuvaajana, joka saa puoliavoimen välin (0, 1] jokaisessa pisteessä x arvon ja arvolla 0 arvon 0:
Toisinaan topologin sinikäyräksi määritellään laajempi avaruus, johon kuuluvat origon lisäksi sanotun funktion kuvaajan koko origon oikealla puolella oleva osa:[1]
Sen topologia saadaan tason topologiasta relatiivitopologiana.
Ominaisuuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kun muuttuja x lähestyy nollaa, sen käänteisluku 1/x kasvaa rajatta. Tästä sekä sinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että funktion y = sin (1/x) nollakohtia ovat kaikki muotoa
olevat luvut, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Näin ollen 0 on funktion nollakohtien kasautumispiste. Funktiolla ei kuitenkaan ole raja-arvoa origossa, sillä olipa > 0 kuinka pieni positiivinen kokonaisluku tahansa, avoimella välillä , ja myös välillä ), funktio saa kaikki reaalilukuarvot väliltä [-1, 1], vieläpä jokaisen niistä äärettömän monta kertaa. Tämä ilmenee käyrän heilahtelujen tihenemisenä origon läheisyydessä. Koska raja-arvoa ei ole, tämä funktio ei ole myöskään jatkuva origossa.
Topologisena avaruutena topologin sinikäyrä T on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen, sillä origoa ei voida yhdistää polulla käyrän muihin pisteisiin.[1] T ei myöskään ole lokaalisti yhtenäinen origossa.[2]
Topologin sinikäyrä T voidaan muodostaa lokaalisti kompaktin avaruuden kuvana jatkuvassa kuvauksessa, mutta se itse ei ole lokaalisti kompakti. Olkoon V joukko ja määritellään funktio f: V -> T seuraavasti:
- , kun .
Tällöin joukko V on lokaalisti kompakti ja funktio on jatkuva, mutta T ei ole lokaalisti kompakti origossa.
T:n topologinen ulottuvuus on 1.
Muunnelmia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Topologin sinikäyrästä on olemassa muunnelmia, joilla on muita mielenkiintoisia ominaisuuksia.
Suljettu topologin sinikäyrä voidaan määritellä lisäämällä topologin sinikäyrään sen kosketuspisteiden joukko eli pisteiden (0,-1) ja (0,1) välinen jana . Se on samalla topologin sinikäyrän sulkeuma. Tämä joukko on suljettu ja rajoitettu ja näin ollen Heinen–Borelin lauseen mukaan kompakti avaruus, mutta sillä on muutoin samankaltaisia ominaisuuksia kuin topologin sinikäyrällä: se on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen eikä polkuyhtenäinen.
Laajennettu topologinen sinikäyrä määritellään lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään vielä pisteiden (0,1) ja (1,1) välinen jana . Topologisena avaruutena se on polkuyhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen.
Varsovan ympyrä saadaan lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään kaari, joka yhdistää pisteen (0, -1) pisteeseen (1, sin 1). Tämä avaruus ei ole kutistuva, vaikka sen kaikki homotopiaryhmät ovat triviaaleja.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Lynn Arthur Steen, J. Arhur Seebach Jr.: Counterexamples in Topology, s. 137–138. Dover Publications, Inc., 1978 (uusintapainos 1995). ISBN 978-0-486-68735-3.
- Topologist's Sine Curve Wolfram MathWorld. Viitattu 30.12.2016.
Viitteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ a b Jussi Väisälä: ”Polkuyhtenäisyys”, Topologia II, s. 58. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
- ↑ Jussi Väisälä: ”Lokaali yhtenäisyys”, Topologia II, s. 60. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.