Kasautumispiste

Topologiassa avaruuden X kasautumispisteellä tarkoitetaan sellaista pistettä, jonka jokaisessa ympäristössä on jokin toinen X:n piste. Formaalisti x on X:n kasaantumispiste, jos x:n ympäristöille U pätee $\forall U\subset X\exists x'\in X$ siten, että $x'\in X\setminus \{x\}$.

Kasautumispiste voidaan määritellä myös toisella tapaa. Olkoon A $\subset X$. Piste $x\in X$ on A:n kasautumispiste, jos jokaisessa x:n ympäristössä U on ääretön määrä A:n pisteitä. Tähän riittää se, että jokaisessa x:n ympäristössä on jokin A:n piste y ja y ei ole piste x.

Joukon A kasautumispiste voi joko kuulua A:han tai olla siihen kuulumatta. Kasautumispiste kuuluu aina joukon sulkeumaan.

Esimerkkejä

• Määritellään joukko $X=\{a,b,c,d,e\}$ ja tälle topologia $\{X,\emptyset ,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e\}\}$. Osajoukon ${a,b,c}$ kasautumispisteet ovat $b$, $d$ ja $e$.
• [0,2[:n kasaantumispisteiden joukko on [0,2].
• Kokonaislukujen joukolla ei ole kasautumispistettä.
• Kokonaislukujen käänteislukujen 1/n ($n\in N$) kasautumispiste on 0, sillä jokainen avoin väli ]$-\epsilon ,\epsilon$[ sisältää kaikkien riittävän suurten kokonaislukujen käänteisluvut.

Katso myös

• Kosketuspiste

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I. Limes, 2001. ISBN 951-745-192-X.
• Väisälä, Jussi: Topologia II. Limes, 1999. ISBN 951-745-185-7.

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.