Lokaalisti yhtenäinen avaruus

Tässä topologisessa avaruudessa V on pisteen p ympäristö, ja se sisältää yhtenäisen ympäristön (tummanvihreän kiekon), johon piste p myös kuuluu.

Lokaalisti yhtenäinen avaruus on matematiikassa topologinen avaruus, jonka jokaisella pisteellä on pelkästään avoimista ja yhtenäisistä joukoista koostuva ympäristökanta.

Taustaa

Topologian koko historian ajan yhtenäisyys ja kompaktius ovat olleet tutkituimmat topologiset ominaisuudet. Itse asiassa suurelta osin juuri näiden ominaisuuksien tutkiminen aluksi euklidisen avaruuden osajoukoilla ja sen oivaltaminen, etteivät ne riipu nimenomaisesta euklidisesta metriikasta, teki aikoinaan selväksi topologisen ominaisuuden ja siten myös topologisen avaruuden käsitteet. Sen sijaan, että euklidisen avaruuden kompaktien osajoukkojen rakenne ymmärrettiin varsin pian Heinen–Borelin lauseen perusteella, $\mathbb {R} ^{n}$:n osajoukkojen yhtenäisyys (kun n > 1) osoittautui paljon vaikeammaksi kysymykseksi. Esimerkiksi vaikka jokainen kompakti Hausdorffin avaruus on myös lokaalisti kompakti, yhtenäinen avaruus tai edes euklidisen avaruuden yhtenäinen osajoukko ei välttämättä ole lokaalisti yhtenäinen, kuten jäljempänä osoitetaan.

Niinpä topologit tutkivat 1900-luvun alkupuolella ahkerasti lokaalia yhtenäisyyttä ja muita samantapaisia topologisia käsitteitä ja sitä, mitä näistä ominaisuuksista seuraa. Jäljempänä tässä artikkelissa käsitellään esimerkiksi heikon lokaalin yhtenäisyyden ja lokaalin yhtenäisyyden keskenäistä suhdetta.

1900-luvun loppupuolella tutkimus keskittyi entistä enemmän monistojen tutkimukseen. Ne ovat lokaalisti homeomorfisia euklidisen avaruuden kanssa, ja niiden lokaalit ominaisuudet tunnetaan hyvin, mutta niillä on monimutkaisia globaaleja oinaisuuksia. Tämä merkitsee, että vaikka monistojen pistejoukkotopologia on jokseenkin yksinkertaista, sillä käsitteen useimpien määritelmien mukaan monistot ovat metristyviä, niiden algebrallinen topologia on huomattavasti monimutkaisempaa. Tästä nykyaikaisesta näkökulmasta lokaali polkuyhtenäisyys on osoittautunut tärkeämmäksi käsitteeksi: esimerkiksi jotta avaruudella olisi universaalinen peite, sen on oltava yhtenäinen ja lokaalisti polkuyhtenäinen.

Avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos sen jokaisella avoimen joukon U yhtenäiset komponentit relatiivitopologiassa ovat avoimia. Siitä seuraa esimerkiksi, että jatkuva kuvaus lokaalisti yhtenäisestä avvaruudesta täysin epäyhtenäiseen avaruuteen voi olla vain vakiokuvaus. Itse asiassa komponenttien avoimuus on niin luonnollista, että on erityisesti palautettava mieliin, ettei se päde kaikissa topologisissa avaruuksissa: esimerkiksi Cantorin joukko on täysin epäyhtenäinen, mutta ei diskreetti avaruus.

Määritelmiä ja esimerkkejä

Olkoon X topologinen avaruus ja x piste avaruudessa X.

Sanotaan, että X on lokaalisti yhtenäinen pisteessä x, jos jokaista avointa joukkoa V kohti, johon x kuuluu, on olemassa yhtenäinen avoin joukko U siten, että $x\in U\subset V$. Avaruus X on lokaalisti yhtenäinen, jos se on lokaalisti yhtenäinen kaikissa pisteissä.

Lokaali yhtenäisyys ei ole sama asia kuin yhtenäisyys: avaruus voi olla yhtenäinen olematta lokaalisti yhtenäinen tai myös lokaalisti yhtenäinen olematta yhtenäinen. Molemmista tapauksista annetaan jäljempänä esimerkki.

Sanotaan, että X on heikosti lokaalisti yhtenäinen pisteessä x (eli yhtenäinen im kleinen pisteessä x), jos jokaista avointa joukkoa V kohti, johon piste x kuuluu, on olemassa sellainen V:n yhtenäinen osajoukko N, että x on X:n sisäpiste. Yhtäpitävä vaihtoehtoinen määritelmä kuuluu: jokainen avoin joukko V, joho piste x kuuluu, sisältää x:n sellaisen avoimen ympäristön Y, ett' mitä tahansa kahta U:n pistettä kohti voidaan valita jokin V:n yhtenäinen osajoukko, johon molemmat pisteet kuuluvat. Avaruutta X sanotaan heikosti lokaalisti yhtenäiseksi, jos se on heikosti lokaalisti yhtenäinen jokaisessa pisteessään.

Toisin sanoen ainoa ero lokaalin yhtenäisyyden ja heikon lokaalin yhtenäisyyden välillä on se, että lokaali yhtenäisyys edellyttää, että pisteellä x on avoimista joukoista koostuva ympäristökanta, kun taas heikko lokaali yhtenäisyys edellyttää vain, että pisteellä x on yhtenäisistä joukoista koostuva ympäristökanta.

Jokainen avaruus, joka on lokaalisti yhtenäinen pisteessä x, on tässä pisteessä selvästi myös heikosti lokaalisti yhtenäinen. Kääntäen ei välttämättä ole, mistä jäljempänä annetaan esimerkki. Toisaalta on yhtä selvää, että lokaalisti yhtenäinen avaruus on heikosti lokaalisti yhtenäinen, mutta ei välttämättä kääntäen: avaruus, joka on kaikissa pisteissään heikosti lokaalisti yhtenäinen, ei välttämättä ole kaikissa pisteissään lokaalisti yhtenäinen. Tämä todistetaan jäljempänä.

Sanotaan, että x on lokaalisti polkuyhtenäinen pisteessä x, jos jokaista avointa joukkoa V kohti, johon piste x kuuluu, on olemassa polkuyhtenäinen avoin joukko U siten, että $x\in U\subset V$. Avaruus X on lokaalisti polkuyhtenäinen, jos se on lokaalisti polkuyhtenäinen jokaisessa pisteessään.

Koska jokainen polkuyhtenäinen avaruus on myös yhtenäinen, jokainen polkuyhtenäinen avaruus on myös lokaalisti yhtenäinen. Jäljempänä esimerkki 6 osoittaa, että lokaalisti yhtenäinen avaruus ei kuitenkaan ole välttämättä lokaalisti polkuyhtenäinen.

Ensimmäisiä esimerkkejä

Topologin sinikäyrä on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen.

Kampa-avaruus on lokaalisti yhtenäinen, mutta ei lokaalisti polkuyhtenäinen.

1. Jokainen euklidinen avaruus $\mathbb {R} ^{n}$, missä n on positiivinen kokonaisluku, on lokaalisti polkuyhtenäinen ja näin ollen myös lokaalisti yhtenäinen, ja samalla myös yhtenäinen.
2. Reaaliakselin $\mathbb {R} ^{1}$ osajoukko $[0,1]\cup [2,3]$, joka on kahden erillisen suljetun välin yhdiste, on lokaalisti polkuyhtenäinen ja näin ollen myös lokaalisti yhtenäinen, mutta ei yhtenäinen.
3. Topologin sinikäyrä on euklidisen tason osajoukko, joka on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen.
4. Rationaalilukujen joukko $\mathbb {Q}$ varustettuna tavallisella euklidisella topologialla ei ole yhtenäinen eikä lokaalisti yhtenäinen.

• Kampa-avaruus, jonka muodostavat tason pisteiden (0,0) ja (0,1) välinen jana sekä kaikki pisteiden (1/n, 0), (1/n, 1) väliset janat janat, kun n on positiivinen kokonaisluku, on lokaalisti yhtenäinen, mutta ei lokaalisti polkuyhtenäinen.

1. Ääretön numeroituva joukko varustettuna kofiniittisella topologialla on lokaalisti yhtenäinen ja samalla hyperyhtenäinen, mutta ei lokaalisti polkuyhtenäinen.

Jäljempänä tässä artikkelissa esitetään lisää esimerkkejä.

Ominaisuuksia

1. Lokaali yhtenäisyys on määritelmän mukaan topologisen avaruuden lokaalinen ominaisuus, toisin sanoen sellainen topologinen ominaisuus P, että avaruudella O on tämä ominaisuus P, jos ja vain jos jokaisella X:n pisteellä x on sellaisista joukoista koostuva ympäristökanta, joilla on ominaisuus P. Samoin kaikki "metaominaisuudet", jotka pätevät lokaaleille ominaisuuksille, pätevät lokaalille yhtenäsiyydelle. Erityisesti:
2. Avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos sillä on yhtenäisistä osajoukoista koostuva kanta.
3. Avaruuksien $\{X_{i}\}$ erillinen yhdiste $\coprod _{i}X_{i}$ on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos jokainen $X_{i}$ on lokaalisti yhtenäinen. Erityisesti koska jokainen vain yhden pisteen käsittävä osajoukko on lokaalisti yhtenäinen, tästä seuraa, että diskreetti avaruus on lokaalisti yhtenäinen. Toisaalta diskreetti avaruus on täysin epäyhtenäinen, joten se on yhtenäinen vain, jos siinä on enintään yksi piste.
4. Kääntäen täysin epäyhtenäinen avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos se on diskreetti. Tästä seuraa edellä mainittu seikka, että rationaalilukujen joukko ei ole lokaalisti yhtenäinen.

Komponentit ja polkukomponentit

Seuraava tulos seuraa lähes suoraan määritelmistä, mutta on osoittautunut sangen hyödylliseksi:

Lemma: Olkoon X avaruus ja $\{Y_{i}\}$ kokoelma X:n osajoukkoja. Oletetaan, että $\bigcap _{i}Y_{i}$ ei ole tyhjä joukko. Silloin jos jokainen $Y_{i}$ on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen), myös niiden unioni $\bigcup _{i}Y_{i}$ on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen).

Tarkastellaan kahta relaatiota topologisessa avaruudessa X. Kun pisteet $x,y\in X$ on annettu, määritellään:

$x\equiv _{c}y$, jos on olemassa X:n yhtenäinen osajoukko, johon sekä x että y kuuluvat, ja

$x\equiv _{pc}y$, jos on olemassa X:n polkuyhtenäinen osajoukko, johon sekä x että y kuuluvat.

Selvästi molemmat relaatiot ovat refleksiivisiä ja symmetrisiä. Lisäksi jos x ja y kuuluvat samaan yhtenäiseen (tai vastaavasti polkuyhtenäiseen) osajoukkoon A sekä y ja z samaan yhtenäiseen (tai vastaavasti polkuyhtenäiseen) osajoukkoon B, edellä olevasta lemmasta seuraa, että $A\cup B$ on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen) osajoukko, johon pisteet x, y ja z kuuluvat. Tästä seuraa, että kumpikin edellä mainituista relaatioista on ekvivalenssirelaatio, joka määrittelee X:n jaon ekvivalenssiluokkiin. Seuraavassa käsitellään kumpaakin tapaa jakaa X luokkiin.

Kun x on jokin X:n piste, joukkoa $C_{x}$ , johon kuuluvat ne pisteet y, joille pätee $y\equiv _{c}x$, sanotaan x:n yhtenäiseksi komponentiksi. Edellä esitetystä lemmasta seuraa, että $C_{x}$ on ainoa maksimaalinen X:n yhtenäinen osajoukko, johon x kuuluu. Koska $C_{x}$:n sulkeuma on myös yhtenäinen osajoukko, johon x kuuluu, tästä seuraa, että joukko $C_{x}$ on suljettu.

Jos X:llä on vain äärellinen määrä yhtenäisiä komponentteja, jokainen komponentti on suljettujen joukkojen äärellisen yhdisteen komplementti ja näin ollen avoin. Yleisemmässä tapauksessa yhtenäisten komponenttien ei tarvitse välttämättä olla avoimia, sillä on olemassa myös täysin epäyhtenäisiä avaruuksia (joissa $C_{x}=\{x\}$ kaikilla pisteillä x), esimerkiksi Cantorin joukko. Lokaalisti yhtenäisen avaruuden yhtenäiset komponentit kuitenkin ovat aina sekä avoimia että suljettuja. Kääntäen jos X:n jokaisen avoimen osajoukon U yhtenäiset komponentit ovat avoimia, niin X:llä on yhtenäisistä joukoista muodostuva kanta, ja näin ollen X on lokaalisti yntenäinen.

Samaan tapaan niiden avaruuden X pisteiden y joukkoa $PC_{x}$, joille pätee $y\equiv _{pc}x$, missä x on annettu avaruuden X piste, sanotaan x:n polkukomponentiksi. Kuten edellä, $PC_{x}$ on samalla kaikkien X:n kaikkien sellaisten polkuyhtenäisten osajoukkojen yhdiste, joihin piste x kuuluu, joten edellä olevan lemman mukaan se itse on polkuyhtenäinen. Koska polkuyhtenäiset joukot ovat yhtenäiset, todetaan, että $PC_{x}\subset C_{x}$ kaikilla pisteillä $x\in X$

Polkuyhtenäisen joukon sulkeuma ei kuitenkaan välttämättä ole polkuyhtenäinen. Esimerkiksi topologin sinikäyrä on sen avoimen osajoukon U sulkeuma, johon kuuluvat kaikki pisteet (x,y), missä x > 0, ja kun U on homeomorfinen reaaliakselin avoimen välin kanssa, se on polkuyhtenäinen. Lisäksi topologin sinikäyrän C polkukomponentit ovat U, joka on avoin mutta ei suljettu, ja $C\setminus U$, joka on suljettu mutta ei avoin.

Avaruus on lokaalisti polkuyhtenäinen, jos ja vain jos sen kaikkien avoinen joukkojen U polkukomponentit ovat avoimia. Siksi lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden polkukomponentit muodostavat X:n jaotuksen erillisiin avoimiin joukkoihin. Tästä seuraa, että lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden avoin yhtenäinen osajoukko on aina polkuyhtenäinen. Lisäksi jos avaruus on lokaalisti polkuyhtenäinen, se on myös lokaalisti yhtenäinen, niin että kaikilla X:n pisteillä x on $C_{x}$ yhtenäinen ja lokaalisti polkuyhtenäinen ja täten myös polkuyhtenäinen, toisin sanoen $C_{x}=PC_{x}$. Lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden tapauksessa sen komponentit ja polkukomponentit ovat siis samoja.

Esimerkkejä

1. Joukolla I × I (missä I = [0,1]) varustettuna järjestystopologialla on vain yksi komponentti, koska se on yhtenäinen, mutta ylinumeroituva määrä polkukomponentteja. Itse asiassa jokainen muotoa {a} × I oleva joukko, missä $a\in I$, on a:n polkukomponentti.
2. Olkoon f jatkuva kuvaus $\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\scriptstyle {l}}$, missä $\mathbb {R} _{\scriptstyle {l}}$ on $\mathbb {R}$ varustettuna alarajatopologialla. Koska $\mathbb {R}$ on yhtenäinen ja yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen, on $\mathbb {R}$:n f:llä muodostettu kuva yhtenäinen. Se on siis jonkin $\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\scriptstyle {l}}$:n komponentin osajoukko. Koska tämä kuvajoukko ei ole tyhjä, ainoita jatkuvia kuvauksia $\mathbb {R}$:sta $\mathbb {R} _{\scriptstyle {l}}$:ään ovat vakiokuvaukset. Itse asiassa jokainen jatkuva kuvaus yhtenäisestä avaruudesta täysin epäyhtenäiseen avaruuteen on vakio.

Kvasikomponentit

Olkoon X topologinen avaruus. Määritellään X:ssä kolmas relaatio: $x\equiv _{qc}y$, jos ja vain jos ei olemassa X:n separaatioa sellaisiksi avoimiksi joukoiksi A ja B, että $x\in A$ ja $y\in B$. Tämä on X:n ekvivalenssirelaatio, ja ekvivalenssiluokkaa $QC_{x}$, johon x kuuluu, sanotaan x:n kvasikomponentiksi.

$QC_{x}$ on samalla kaikkien niiden X:n osajoukkojen leikkaus, jotka ovat sekä avoimia että suljettuja. Näin ollen $QC_{x}$ on suljettu, mutta ei välttämättä avoin.

Selvästikin $C_{x}\subseteq QC_{x}$ kaikilla $x\in X$ Yleensäkin pisteen x polkukomponenteille, komponenteille ja kvasikomponenteille pätee.

$PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.$

Jos X on lokaalisti yhtenäinen, $C_{x}$ on kuten edelläkin sekä avoin että suljettu ja sisältää pisteen x, joten $QC_{x}\subseteq C_{x}$ ja näin ollen $QC_{x}=C_{x}$. Koska lokaalista polkuyhtenäisyydestä seuraa lokaali yhtenäinen, tästä seuraa, että kaikille lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden pisteille x pätee:

$PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.$

Esimerkkejä

1. Esimerkin avaruudesta, jonka kvasikomponentit eivät ole samoja kuin sen komponentit, on numeroituva joukko X, johon kuuluvat pisteet a ja b ja joka on varustettu sellaisella topologialla, että jokaiseen pisteen a ympäristöön joko kuuluu myös piste b tai tähän ympäristöön kuulumattomien X:n pisteiden lukumäärä on äärellinen ja toisaalta jokaiseen pisteen b ympäristöön joko kuuluu myös piste a tai tähän ympäristöön kuulumattomien X:n pisteiden lukumäärä on äärellinen. Piste a kuuluu samaan kvasikomponenttiin kuin b, mutta ei samaan komponenttiin.

• Arensin–Fortin avaruus ei ole lokaalisti yhtenäinen, mutta kuitenkin sen komponentit ja kvasikomponentit ovat samoja; itse asiassa $QC_{x}=C_{x}=\{x\}$ jokaiselle pisteelle x.

Lisää lokaalista yhtenäisyydestä ja heikosta lokaalista yhtenäisyydestä

Lause

Jos X on heikosti lokaalisti yhtenäinen avaruus, se on lokaalisti yhtenäinen.

Todistus

Riittää osoittaa, että avoimien joukkojen komponentit ovat avoimia. Olkoon U avoin X:ssä ja C yksi U:n komponenteista. Olkoon x komponenttiin C kuuluva piste. Silloin x kuuluu myös joukkoon U, ja niinpä on olemassa X:n yhtenäinen aliavaruus A, johon U sisältyy ja johon sisältyy myös jokin x:n ympäristö V. Koska A on yhtenäinen ja siihen kuuluu piste x, a:n on oltava C:n osajoukko, sillä C on se komponentti, johon a kuuluu. Niinpä myös x:n ympäristö V on C:n osajoukko. Koska x oli mielivaltainen, olemme osoittaneet, että jokaisella C:n pisteellä x on ympäristö V, joka sisältyy komponenttiin C. Tämä osoittaa, että C on avoin joukko U:ssa. Niinpä x on lokaalisti yhtenäinen.

Esimerkkinä avaruudesta, joka on heikosti lokaalisti yhtenäinen tietyissä pisteissä, joissa se ei ole lokaalisti yhtenäinen, voidaan mainita eräs laskeva luuta-avaruuksien ääretön yhdiste.

Lähteet

• John L. Kelley: General Topology. David Van Nostrand Company, 1955. ISBN 0-387-90125-6.
• James Munkres: Topology, 2nd edition. Prentice Hall, 1999. ISBN 0-13-181629-2.