Heinen–Borelin lause

Heinen–Borelin lause on metristen avaruuksien topologiaan liittyvä perustulos, joka on tärkeä mm. reaalianalyysissä. Se on nimetty Eduard Heinen ja Émile Borelin mukaan.

Yksinkertaisimmassa muodossaan lause sanoo, että jos reaalilukujen joukossa jollekin suljetulle välille voidaan muodostaa avoimista väleistä koostuva peite, sillä on äärellinen osapeite.

Lause voidaan yleistää myös useampiulotteisiin euklidisiin avaruuksiin $\mathbb {R} ^{n}$. Jos S on jokin $\mathbb {R} ^{n}$:n osajoukko, seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:

• S on suljettu ja rajoitettu joukko
• Jokaisella joukon S avoimista joukoista muodostetulla peitteellä on äärellinen osapeite, siis S on kompakti.

Lause voidaan edelleen yleistää koskemaan kaikkia metrisiä avaruuksia. Ylimmässä muodossaan lause sanoo:

• Metrisen avaruuden osajoukko on kompakti, jos ja vain jos se on täydellinen ja täysin rajoitettu.

Todistus avaruudessa Rⁿ

Kompakti joukko on suljettu

Olkoon S kompakti joukko joka ei ole suljettu. Tällöin on olemassa kasautumispiste a, joka ei kuulu joukkoon S. Valitaan peite $C=\bigcup _{\{x\in S\}}B_{x}$, missä jokainen B_x on pisteen x ympäristö, joka on erillinen jostakin pisteen a ympäristöstä. Olkoon C₁ jokin tämän peitteen äärellinen osapeite. Kuitenkin nyt löytyy jokaista $B_{x}\in C_{1}$ kohti pisteen a ympäristö $B_{x}^{1}$, joka ei leikkaa joukkoa B_x. Näiden ympäristöjen leikkaus $\bigcap B_{x}^{1}$ sisältää pisteen $b\in S$, mutta $b\notin \bigcup C_{1}$. Siis $C_{1}$ ei ole joukon S peite. Tämä on ristiriita ja täten väite on tosi.

Kompakti joukko on rajoitettu

Valitaan kompaktille joukolle S peite $C=\{B(x,2):x\in Z^{n}\}$. Tällöin on olemassa äärellinen peite $C\subset C^{1}$. Joukon S halkaisijaa voidaan arvioida ylöspäin seuraavasti:

$d(S)\leq d(\bigcup C^{1})\leq \sum _{B\in C^{1}}2\leq \infty$.

Siis S on rajoitettu.

Kompaktin joukon suljettu osajoukko on kompakti

Olkoon S kompaktin joukon T suljettu osajoukko, jonka komplementti U on avoin ja C joukon S avoin peite. Tällöin peite $C^{1}=C\cup \{U\}$ on joukon T avoin peite. Kompaktiuden nojalla löytyy joukon T peite C², joka on peitteen C² osapeite. Peite $C\setminus \{U\}$ on peitteen C avoin, äärellinen osapeite.

Suljettu ja rajoitettu joukko on kompakti

Olkoon S rajoitettu ja suljettu osajoukko avaruudessa Rⁿ. Nyt S on osajoukko jossakin joukosta

$T_{0}=[-a,a]^{n}$

Yllä todetun nojalla riittää osoittaa, että T₀ on kompakti.

Oletetaan, että T₀ ei ole kompakti. Tällöin on olemassa avoin peite C, jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Jakamalla jokainen sivu kahtia saadaan 2ⁿ pienempää n- laatikkoa, joista vähintään yhdellä ei ole äärellistä peitteen C osapeitettä. Kutsutaan yhtä tällaisista joukoista nimellä T₁. Vastaavasti laatikon T₁ sivut voidaan halkaista, mistä saadaan 2ⁿ pienempää n-laatikkoa, joista yhdellä ei ole äärellistä peitteen C osapeitettä. Annetaan tälle joukolle nimi T₁. Tällä tavalla jatkamalla saadaan jono suljettuja n-laatikoita, joista jokainen sisältyy jonon aikaisempiin jäseniin.

$T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots$

Tässä joukon T_k sivun pituus (2 a) / 2^k lähestyy lukua 0, kun k kasvaa rajatta. Poimitaan joukosta T_k alkio x_k kaikilla k. Tämä jono on Cauchy-jono, joten sillä on raja-arvo p. p ∈ T_k kaikilla k, koska T_k on suljettu ja sisältää koko jonon lukuun ottamatta sen ensimmäisiä alkioita.

Koska C peittää joukon T₀, se sisältää avoimen joukon U, jolle pätee p ∈ U ∈ C. Koska U on avoin, jokin p-keskeinen kuula B(p) ⊆ U. Nyt voidaan valita k siten että T_k ⊆ B(p) ⊆ U. Tällöin kuitenkin joukolla T_k on peitteen C äärellinen osapeite $\{U\}$, mikä on ristiriita.

Siten T on kompakti, mistä seuraa, että S on kompakti, MOT.

Vaihtoehtoinen todistus hoitaisi ensin yksiulotteisen avaruuden jollain toisella menetelmällä. Sitten yleiselle S voisi päätellä, että sen jokaisella jonolla olisi osajono, jonka ensimmäiset koordinaatit suppenevat, sillä osajono, jonka toiset koordinaatit suppenevat, jne. Siis S olisi jonokompakti, joten S olisi kompakti.

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.