Peite

Matematiikassa joukon $A\,$ peite on kokoelma joukkoja, joiden yhdisteen osajoukkona on $A\,$. Formaalisti muotoillen: jos $X\,$ on joukko ja $A\,$ sen osajoukko, niin kokoelma ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ on joukon $A\,$ peite, jos

$A\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B$.

Peite on äärellinen tai numeroituva, jos siinä on äärellinen tai numeroituva määrä alkioita eli joukkoja. Peite on avoin, jos sen kaikki joukot ovat avoimia joukkoja.

Peitteen käsite on hyödyllinen erityisesti topologiassa ja mittateoriassa. Esimerkiksi topologiassa joukon kompaktius määritellään yleisesti peitteiden avulla: joukko on kompakti, jos sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Toisin sanoen joukkoa $A\,$ kutsutaan kompaktiksi jos sen jokaisella avoimella peitteellä ${\mathcal {F}}$on äärellinen osajoukko eli ${\mathcal {F}}'\subset {\mathcal {F}}$, joka jo peittää $A\,$:n. Mittateoriassa peitteen käsite esiintyy mm. Lebesguen ulkomitan konstruktiossa ns. Lebesguen peitteen muodossa.

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.