Funktio

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Funktion kuvaaja)
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee termin merkitystä matematiikassa. Ohjelmoinnissa aliohjelmia nimitetään tietyissä tilanteissa funktioksi.
Funktio liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden maalijoukon Y alkion.

Funktio eli kuvaus kertoo olioiden välisistä riippuvuussuhteista.[1]

Formaalisti funktio joukolta joukkoon on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon täsmälleen yhden joukon alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla .

Funktioon liittyviä joukkoja kutsutaan :n lähtö- eli määrittelyjoukoksi () ja maalijoukoksi (). Jos , niin sanotaan, että on joukon funktio. Määrittelyjoukon alkioita kutsutaan usein funktion argumenteiksi. Sitä, että :n argumenttiin liittämä arvo on , merkitään yleensä , eli funktion kuva-alkio. Esimerkiksi asetetaan kuvitellussa tilanteessa :n määrittelyjoukoksi nelihenkinen perhe. on nyt siis ihminen-tyyppisistä alkioista koostuva joukko, jossa on neljä alkiota. Asetetaan sitten maalijoukoksi kaikkien mahdollisten suomalaisten etunimien joukko. Koska jokaiseen ihmiseen voimme liittää jonkin yksikäsitteisen etunimen, niin voimme muodostaa funktion nelihenkisen perheen ja kaikkien etunimien joukon välille. Tämän funktion argumentit ovat perheenjäseniä ja arvot perheenjäsenten etunimet.

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisin funktiotyyppi on sellainen, jossa lähtö- ja maalijoukot ovat lukujoukkoja ja funktion määrittelevä vastaavuus voidaan ilmaista laskutoimituksin. Tällöin on tavallista, joskin muodollisesti epäkorrektia, nimetä funktio määrittelyjoukon yleiseen alkioon kohdistuvan laskutoimituksen osoittavalla kaavalla, esimerkiksi "funktio ".

Esimerkkejä yleisestä määritelmästä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

, jolla , on funktio reaalilukujen joukossa. Tässä funktio liittää jokaiseen reaalilukuun luvun itsensä, ks. Identtinen funktio.

, jolla . Nyt funktio liittää jokaiseen reaalilukuun tämän luvun neliön.

, jolla , on kahden muuttujan funktio (ks. alla). Funktio liittää jokaiseen reaalilukupariin lukujen neliöiden summan.

Eksakti määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoot jälleen ja joukkoja. Tällöin näiden karteesisen tulon osajoukko on funktio, jos sille pätevät ehdot

ja

.

Toisin sanoen pari on funktion alkio, jos ja vain jos jokaisella kuva-alkiosta poikkeavilla alkioilla pari ei ole funktion alkio. Siispä funktiossa kukin :n alkio esiintyy tarkalleen kerran :n parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista. Eksaktin määritelmän avulla funktiot ja ovat samat, kun ne ovat sama joukko, eli pätee .

Esimerkkejä eksaktista määritelmästä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko ja joukko . Nyt näiden karteesinen tulo on joukko .

Funktiot joukossa ovat osajoukot:

  • eli
  • eli
  • eli
  • eli
  • eli
  • eli
  • eli .

Funktion kuvaaja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion f(x)=x kuvaaja

Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion kuvaajan käsite. Täsmällisesti jos on funktio, niin sen kuvaaja on karteesisen tulon osajoukko

Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista. Funktion kuvaajan määritelmä on identtinen yllä esitetyn funktion eksaktin määritelmän kanssa.

Esimerkiksi funktion , kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon osajoukko

Tässä tapauksessa koska joukko on tavallinen 2-ulotteinen euklidinen avaruus , niin voidaan funktion kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy.

Yhdistetty funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos , ja , niin on määriteltävissä funktio siten, että . Funktio on funktioista ja yhdistetty funktio ja sitä merkitään .

Jos esimerkiksi , ja , niin ja .

Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun funktion lähtöjoukko on hahmotettavissa useamman joukon karteesiseksi tuloksi, on usein tapana puhua usean muuttujan funktiosta tai vektorimuuttujan funktiosta. Jos , niin funktion alkioon liittämää kuva-alkiota merkitään yleensä . Esimerkiksi ilmanpaine tietyssä paikassa ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio . Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio : lukuparin yksikäsitteinen kuva-alkio on lukujen ja summa, ja sitä merkitään yksinkertaisemmin (ks. Laskutoimitus).


Vastaavasti funktion palauttama arvo voi olla usean joukon karteesisen tulon alkio. Tällöin on tapana puhua vektoriarvoisesta funktiosta. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona , missä on jokin vakio . Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä vektorikentästä. Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus .

Joukkojen kuvat ja alkukuvat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktio eli kuvaus.

  • Joukon kuvajoukko eli kuva kuvauksessa on joukko

Toisinaan kuvajoukkoa merkitään ilman sulkeita: . Funktion kuvajoukko on siis maalijoukon osajoukko ja se koostuu niistä :n kuva-alkioista, joille määrittelyjoukon osajoukon alkiot kuvautuvat kuvauksessa . Jos asetamme osajoukoksi koko määrittelyjoukon , ei välttämättä vastaava kuvajoukko ole koko maalijoukko . Esimerkiksi funktion , , määrittelyjoukon kuva , joka on maalijoukon aito osajoukko.

  • Joukon alkukuva kuvauksessa on joukko

Funktion alkukuva on siis määrittelyjoukon osajoukko ja se koostuu niistä :n alkioista, jotka kuvautuvat joukon alkioille kuvauksessa . Yksittäisen alkion alkukuva on . Jos asetetaan osajoukoksi koko maalijoukko , niin vastaava alkukuva on koko määrittelyjoukko. Koko määrittelyjoukko voi kuitenkin olla jonkin maalijoukon aidon osajoukon alkukuva. Esimerkiksi funktion , , maalijoukon osajoukon alkukuva on eli koko määrittelyjoukko.

Alkeisfunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisimpia reaalimuuttujan funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin polynomit eli funktiot, jotka määritellään muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kestolaskun avulla muodostetuilla laskulausekkeilla. Polynomifunktion yleinen muoto on

Polynomifunktioiden erikoistapauksia ovat vakiofunktiot , missä on jokin vakio, ja identtinen (reaalimuuttujan) funktio . Rationaalifunktiot määritellään lausekkein, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Rationaalifunktion laskulauseke voidaan aina saattaa muotoon

eli kahden polynomifunktion osamaaräksi. Koska nimittäjä voi olla nolla, rationaalifunktion määrittelyjoukko ei yleensä voi olla koko reaalilukujen joukko. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on algebrallinen funktio.

Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioihin luetaan eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot, trigonometriset funktiot käänteisfunktioineen ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot.

Funktion ydin ja kantaja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrassa voidaan funktioille lisäksi määritellä ytimen käsite, joka on osoittautunut esimerkiksi isomorfisuuden tutkimisessa hyödylliseksi välineeksi.

Olkoon seuraavassa G ja ryhmiä ja jokin funktio.

  • Funktion ydin on joukko

missä merkintä tarkoittaa arvojoukon nolla-alkiota. Toisin sanoen funktion ydin koostuu niistä määrittelyjoukon alkioista, jotka kuvautuvat nolla-alkiolle. Funktion ydin on siis erityisesti nolla-alkion muodostaman yksiön alkukuva. Esimerkiksi funktion , , ydin koostuu pelkästä luvusta 0 sillä jos ja vain jos .

Erityisesti funktionaalianalyysissä hyödyllinen käsite on funktion kantaja. Jos funktion määrittelyjoukko on topologinen avaruus ja arvojoukko on reaali- tai kompleksilukujen joukko, funktion kantaja on joukon () sulkeuma eli pienin kyseisen joukon sisältävä suljettu joukko.

Funktiokäsitteen historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sanan funktio etymologia perustuu latinan verbiin fungi, 'tehdä, toimia, toimittaa'. Sanaa sen matemaattisessa merkityksessä käytti ensimmäisenä saksalainen G. W. Leibniz vuonna 1694. Sveitsiläinen Johann Bernoulli käytti vuonna 1718 merkintää . Merkintää käyttivät ensi kerran ranskalainen Alexis Claude Clairaut (1713–1765) ja sveitsiläinen Euler vuonna 1734. Funktiolla ymmärrettiin pitkään laskulausekkeen tulosta, mutta jo Eulerilla esiintyy ajatus funktiosta minä hyvänsä lukujen välisenä yhteytenä. Saksalainen Dirichlet esitti vuonna 1837 olennaisesti nykyisen funktion määritelmän, joka ei sido funktiota lukujen laskutoimituksiin.

Erityisesti Cauchyn, Riemannin ja Weierstrassin havainnnot kompleksilukumuuttujan kompleksilukuarvoisista funktioista synnyttivät 1800-luvulla funktioteoriaksi kutsutun matematiikan osa-alueen. Sen tutkimus on ollut elinvoimaista Suomessa 1900-luvulla.

Funktion ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiolle on määritelty paljon erilaisia ominaisuuksia:

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Pekka Kontkanen, Riitta Liira, Kerkko Luosto, Juha Nurmi, Riikka Nurmiainen, Anja Ronkainen ja Sisko Savolainen: Pyramidi 1, s. 115. Kustannusosakeyhtiö Tammi, 2010. ISBN 978-951-26-5134-4.