Kahtaistaittuminen

Valonsäteiden siirtymä ja kohtisuora polarisaatio niiden kulkiessa kahtaistaittavan aineen läpi.

Ruutupaperin päälle asetettu kalsiittikide, siniset viivat osoittavat kahtaistaittumista

Kalsiittikide katsottuna polarisoivan suodattimen läpi

Kahtaistaittuminen on valonsäteen hajoamista kahdeksi säteeksi sen kulkiessa eräiden aniso­trooppisten aineiden kuten kalsiitin tai boorinitridin läpi. Ilmiön kuvasi ensimmäisenä tanskalainen tiedemies Rasmus Bartholin, joka vuonna 1669 havaitsi sen kalsiitissa Nykyisin ilmiön tiedetään esiintyvän myös eräissä muoveissa, magneettisissa materiaaleissa, monissa ei-kiteisissä aineissa ja neste­kiteissä.

Yksin­kertaisimmassa muodossaan ilmiö esiintyy aineissa, joilla on yksi­akselista aniso­tropiaa. Toisin sanoen aineen rakenne on sellainen, että sillä on yksi symmetria-akseli, mutta ei vastaavia akseleita sitä vastaan kohti­suorassa tasossa. Niinpä kahtais­taittumista ei voi esiintyä kuutiollisesti kiteytyvissä aineissa. Tätä akselia sanotaan kiteen optiseksi akseliksi, ja valon­säteillä, jotka ovat lineaarisesti polarisoituneet tämän akselin suuntaisesti tai sitä vastaan kohti­suorasti, on eri suuri taitekerroin. Näistä taite­kertoimista käytetään merkintöjä n_e and n_o, missä ala­indeksit e ja o tulevat sanoista ekstra­­ordinaarinen ja ordinaarinen; suomeksi käytetään myös termejä erikois­sääntöinen ja yleis­sääntöinen. Nämä nimet johtuvat siitä, että jos polarisoitumaton valo saapuu aineeseen terävässä kulmassa (> 0), tätä akselia vastaan kohtisuorasti polaroitunut osa valosta taittuu normaalin taittumis­lain mukaisesti, kun taas akselin suuntaisesti polarisoitunut osa taittuu tästä poikkeavalla tavalla kulmassa, joka riippuu tulo­kulmasta ja taite­kerrointen erotuksesta

$\Delta n=n_{e}-n_{o}\,$.

Tätä erotusta sanotaan kahtais­taittumisen magnitudiksi. Valo jakautuu näin ollen kahteen lineaarisesti polarisoituneeseen osaan, joita sanotaan yleis­sääntöiseksi eli ordinaariseksi sekä erikois­sääntöiseksi eli ekstra­ordinaariseksi. Poikkeuksena ovat tilanteet, jossa valo tulee aineeseen joko optisen akselin suuntaisesti tai sitä vastaan kohti­suorasti. Ensin mainitussa tapauksessa molemmat säteet ovat yleis­sääntöisiä eivätkä erkane toisistaan. Myöskään jälkimmäisessä tapauksessa ne eivät erkane toisistaan, mutta yleis- ja erikois­sääntöinen komponentti kulkevat eri nopeuksilla. Tätä ilmiötä käytetään lineaarisesti polarisoituneen valon muuttamiseksi ympyrä­polaroituneeksi tai päinvastoin.

Kahtaistaittuminen esiintyy myös kaksi­akselisesti aniso­trooppisissa aineissa, joita sanotaan myös kolmois­taittaviksi, mutta niiden kuvaus on oleellisesti moni­mutkaisempaa.

Kahtaistaittavien aineiden valmistus

Kahtaistaittavia aineita esiintyy yleisesti luonnossakin, mutta on myös useita tapoja muuttaa optisesti isotrooppiset materiaalit sellaisiksi:

• Kahtaistaittuminen on tuloksena, kun iso­trooppista ainetta väännetään tai taivutetaan niin, että se menettää iso­trooppisuutensa yhdessä suunnassa.
• Pockelsin ilmiön avulla, jossa sähkökenttä saa molekyylit järjestymään riveihin tai käyttäytymään epä­symmetrisesti, myös aniso­trooppisesti;
• Faradayn ilmiön avulla, jossa magneettikenttä tekee materiaalin sirkulaarisesti kahtais­taittavaksi niin, että sillä on eri taite­kerroin vastakkaisiin suuntiin ympyrä­polarisoituneelle valolle samaan tapaan kuin optisesti aktiivisilla aineilla;
• saamalla vahvasti polaroituneet molekyylit kuten lipidit, surfaktantit tai neste­kiteet järjestymään niin, että saadaan vahvasti kahtais­taittavia ohuita kalvoja.

Esimerkkejä yksiakselisesti kahtaistaittavista aineista

Yksiakselisia aineita, aallonpituudella 590 nm

Aine	no	ne	Δn
berylli Be3Al2(SiO3)6	1,602	1,557	-0,045
kalsiitti CaCO3	1,658	1,486	-0,172
kalomeli Hg2Cl2	1,973	2,656	+0,683
jää H2O	1,309	1,313	+0,004
litiumniobaatti LiNbO3	2,272	2,187	-0,085
magnesiumfluoridi MgF2	1,380	1,385	+0,006
kvartsi SiO2	1,544	1,553	+0,009
rubiini Al2O3	1,770	1,762	-0,008
rutiili TiO2	2,616	2,903	+0,287
peridootti (Mg, Fe)2SiO4	1,690	1,654	-0,036
safiiri Al2O3	1,768	1,760	-0,008
natriumnitraatti NaNO3	1,587	1,336	-0,251
turmaliini (yhdistetty silikaatti )	1,669	1,638	-0,031
zirkoni, korkea ZrSiO4	1,960	2,015	+0,055
zirkoni, matala ZrSiO4	1,920	1,967	+0,047

Parhaiten tutkitut kahtaistaittavat aineet ovat kiteisiä, ja niistä joidenkin taitekertoimet on taulukoitu oikealla (aallonpituudella ~ 590 nm). Piikarbidi eli moissaniitti on vahvasti kahtaistaittavaa.

Monet muovit ovat kahtaistaittavia, koska niiden molekyylit ovat "jähmettyneet" jännittyneeseen tilaan, kun muovi on muodostunut. Esimerkiksi sellofaani on halpa kahtaistaittava materiaali, ja polaroidilevyjä käytetään yleisesti kahtaistaittavien muovien kuten polystyreenin ja polykarbonaatin optisen akselin suunnan selvittämiseen. Kahtaistaittavia aineita käytetään monissa polaroitunutta valoa käsittelevissä laitteissa kuten aalto­levyissä, polarisoivissa prismoissa ja Lyotin suodattimissa.

Kuten edellä todettiin, kahtaistaittumista voi esiintyä myös magneettisissa aineissa, mutta näkyvän valon aallonpituuksilla huomattavat permeabiliteetin vaihtelut eri suunnissa ovat harvinaisia. Puuvillakuidut ovat myös kahtaistaittavia, koska niissä on suuri määrä selluloosaa kuidun solunseinissä.

Vähäisetkin valmistusvirheet optisissa kuiduissa voivat tehdä ne kahtaistaittaviksi, mikä aiheuttaa häiriöitä tietoliikenteessä. Tällaiset virheet voivat johtua rakenteen geometriasta tai fotoelastisista ilmiöistä.

Nopeat ja hitaat säteet

Efektiiviset taitekertoimet negatiivisesti yksiakselisissa materiaaleissa

Leviämissuunta	Yleissääntöinen säde		Erikoissääntöinen säde
	Polarisaatio	neff	Polarisaatio	neff
z	xy-taso	$n_{o}$	-	-
xy-taso	xy-taso	$n_{o}$	z	$n_{e}$
xz-taso	y	$n_{o}$	xz-taso	$n_{e}<n<n_{o}$
muu	analoginen xz-tason kanssa

Tietyssä leviämis­suunnassa on yleensä kaksi kohtisuoraa polarisaatiota, joihin nähden väli­aine käyttäytyy ikään kuin sillä olisi vain yksi efektiivinen taite­kerroin. Yksi­akselisessa aineessa säteitä, joilla on nämä polarisaatiot, sanotaan erikois­sääntöiseksi (ekstra­ordinaariseksi, e-säde) ja yleis­sääntöiseksi (ordinaariseksi, o-säde), mitkä vastaavat erikois- ja yleis­sääntöistä taite­kerrointa. Kaksi­akselisessa materiaalissa on kolme taite­kerrointa α, β ja γ, mutta vain kaksi sädettä, joita sanotaan nopeaksi ja hitaaksi säteeksi. Hidas säde on se, jolla on suurin efektiivinen taite­kerroin.

Yksi­akselisessa aineessa määritellään z-akseli aineen optiseksi akseliksi, ja efektiiviset taite­kertoimet ovat oikealla olevan taulukon mukaiset. Tällöin xz-tasossa kulkevien säteiden taite­kertoimet vaihtelevat jatkuvasti $n_{o}$:n ja $n_{e}$:n välillä riippuen säteen ja z-akselin välisestä kulmasta. Efektiiviset taite­kertoimet saadaan indeksiellipsoidista.

Kaksiakselinen kahtaistaittuminen

Kaksiakselisia aineita, aallonpituudella 590 nm

Aine	nα	nβ	nγ
booraksi	1.447	1.469	1.472
Magnesiumsulfaatti MgSO4·7(H2O)	1.433	1.455	1.461
mica, biotiitti	1.595	1.640	1.640
mica, muskoviitti	1.563	1.596	1.601
oliviini (Mg, Fe)2SiO4	1.640	1.660	1.680
perovskiitti CaTiO3	2.300	2.340	2.380
topaasi	1.618	1.620	1.627
uleksiitti	1.490	1.510	1.520

Kaksiakselinen kahtaistaittavuus, jota sanotaan myös kolmoistaittavuudeksi, esiintyy anisotrooppisissa aineissa, joilla on useampi kuin yksi anisotropia-akseli. Sellaisten aineiden taitekerroin on esitettävä tensorina n, jolla yleensä on kolme eri ominaisarvoa, n_α, n_β ja n_γ.

Positiivinen ja negatiivinen kahtaistaittavuus

Positiivisesti kahtais­taittavan aineen läpi kulkevat säteet. Saapuva valo on polari­soitu­matonta, eli sillä on akselin suuntaisesti ja sitä vastaan kohtisuorasti polari­soituneet kompo­nentit. Optinen akseli on kohti­suorassa valon tulo­suuntaan nähden, jolloin optisen akselin suuntaisesti polari­soitu­neella säteellä on suurempi taite­kerroin kuin sitä vastaan kohti­suorasti polari­soitu­neella säteellä.

Yksiakselisesti kahtais­­taittavat aineet jaetaan positiivi­sesti tai negatiivi­sesti kahtais­­taittaviin sen kukaan, onko sen optista akselia kohti suunnatun valon taite­kerroin suurempi optisen akselin suuntaisesti polaroituneelle valolle kuin sitä vastaan kohti­suorasti polari­soitu­neelle vai päin­vastoin. Toisin sanoen hidas säde on polari­soitunut optisen akselin suuntaisesti posi­tiivi­sesti kahtais­taittavissa aineissa, nega­tiivi­sesti kahtais­taittavissa taas sitä vastaan kohti­suorasti.

Mittaus

Kahtais­taittavuutta ja muita saman­tapaisia optisia ilmiöitä voidaan mitata sillä, minkä verran valon polarisaatio muuttuu sen kulkiessa aineen läpi. Tällaisia mittauksia sanotaan polarimetriaksi.

Optisissa mikroskoopeissa käytetään usein polarisoivia suodattimia. Tällaisten suodattimien välissä kahtaistaittava näyte näkyy kirkkaasti tummaa (isotrooppista) taustaa vasten.

Kemiallisissa yhdisteissä kuten kalsiumkarbonaatissa sekä kiteissä kuten kalsiitissa taitekerroin riippuu valon tulosuunnasta. Valon taittuminen riippuu myös aineen koostumuksesta, ja se voidaan laskea Gladstonen-Dalen relaation avulla.

Sovelluksia

Kalsiittikide paperin päällä, jolloin jotkin kirjaimet osoittavat kahtaistaittumisen.

Kahtaistaittumista käytetään yleisesti optisissa laitteissa kuten nestekidenäytöissä, elektro-optisissa modulaattoreissa, Lyot'n värisuodattimissa, aaltolevyissä ja niin edelleen.

Kahtaistaittavia suodattimia käytetään myös elektronisissa kameroissa, joissa kiteen paksuutta säädetään kuvan levittämiseksi tietyssä suunnassa ja täten sen koon suurentamiseksi. Tämä on oleellista kaikissa televisio- ja elektronisissa elokuvakameroissa.

Lääketiede

Kahtaistaittumista käytetään hyväksi myös lääketieteellisissä diagnooseissa.

Uraattikiteitä. Kiteet, joiden pitkä akseli näkyy vaakasuorana, ovat yhdensuuntaisia punaisen kompensaattorisuodattimen kanssa. Ne näkyvät keltaisina ja ovat negatiivisesti kahtaistaittavia.

Kihdissä ihmisen nivelissä tai niistä neulalla pistettäessä saatavassa nesteessä esiintyy negatiivisesti kahtaistaittavia natriumuraattikiteitä. Toisaalta kalsiumpyrofosfaattikiteet ovat heikosti positiivisesti kahtais­taittavia. Käytännössä uraatti­kiteet näyttävät keltaisilta ja kalsium­pyro­fosfaatti­kiteet sinisiltä, kun niiden pitkät akselit suunnataan punaisen kompensaatio­filtterin suuntaisesti , tai kun näytteeseen lisätään vertailun vuoksi kide, jonka kahtais­taittavuus tunnetaan.

Oftalmologiassa skannaava laserpolarimetria käyttää verkkokalvon hermokudoksen kahtaistaittavuutta sen paksuuden mittaamiseen, millä voidaan todentaa glaukooma.

Elastinen kahtaistaittavuus

Kahtaistaittavuuden kaltainen esiintyy myös anisotrooppisissa kimmoisissa aineissa. Niissä kimmoaallot jakautuvat kahtia samaan tapaan kuin valo kahtaistaittavissa aineissa. Maan sisuksissa kulkevien kahtaistaittuneiden kimmoaaltojen tutkimus kuuluu seismologiaan. Ilmiötä käytetään myös optisessa mineralogiassa kivilajien ja mineraalien kemiallisen koostumuksen ja historian tutkimiseen.

Jännityksen aikaansaama kahtaistaittavuus

Värikuvio, joka osoittaa, miten mekaaninen jännitys tekee aineen kahtaistaittavaksi. Näyte on sijoitettu kahden polarisaattorin väliin.

Isotrooppiset kiinteät aineet eivät normaalisti ole kahtais­taittavia. Mekaanisen jännityksen vaikutuksesta ne kuitenkin voivat tulla sellaiseksi. Tämä jännitys voidaan aikaansaada ulkoisesti tai se voi "jähmettyä" sen jälkeen, kun kahtais­taittava muovi on jäähdytetty valmistamisensa jälkeen. Kun tällainen näyte asetetaan kahden polari­saattorin väliin, väri-ilmiöt esiintyvät, koska valon polarisaatio kiertyy sen kulkiessa kahtais­taittavan aineen läpi ja tämän kiertymisen määrä riippuu valon aallon­pituudesta. Tähän perustuu fotoelastisuus, jota käytetään jännityksen jakautumisen tutkimiseen kiinteissä aineissa.

Teoria

Yleisemmin kahtaistaittavuus voidaan määritellä olettamalla, että aineen dielektrinen permittiivisyys ja taite­kerroin ovat tensoreita. Oletetaan, että tasoaalto etenee aniso­trooppi­sessa väliaineessa, jonka suhteellinen permittiivisyys­tensori on ε. Tällöin sen taite­kerroin on tämän neliö­juuri:

$n\cdot n=\epsilon$. (1)

Jos aaltoon liittyvä sähkökenttä ajan ja paikan funktiona on

$\mathbf {E=E_{0}} \exp i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)$ (2)

missä r on paikkavektori ja t aika, aallon aaltovektori k ja kulmataajuus ω noudattavat Maxwellin yhtälöiden mukaisia ehtoja, mistä saadaan yhtälöt:

$-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {\epsilon } \cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}})$ (3a)

$\nabla \cdot (\mathbf {\epsilon } \cdot \mathbf {E} )=0$ (3b)

missä c on valonnopeus. Jos yhtälöissä 3a-b tehdään yhtälön 2 mukaiset sijoitukset, saadaan:

$\mathbf {k} {!}^{2}\mathbf {E_{0}} -\mathbf {(k\cdot E_{0})k} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {\epsilon } \cdot \mathbf {E_{0}} )$ (4a)

$\mathbf {k} \cdot (\mathbf {\epsilon } \cdot \mathbf {E_{0}} )=0$ (4b)

Matriisitulosta $(\epsilon \cdot \mathbf {E} )$ käytetään usein erityistä nimeä dielektrinen siirrosvektori $\mathbf {D}$. Kahtaistaittavuus liittyy siis oleellisesti näiden vektorien lineaariseen riippuvuuteen toisistaan anisotrooppisissa väliaineissa.

Aaltovektorin k sallittujen arvojen löytämiseksi E₀ voidaan eliminoida yhtälöstä 4a. Tämä voidaan tehdä kirjoittamalla yhtälö karteesisten koordinaattien avulla, missä x-, y- ja z-akselit valitaan ε:n ominaisvektorien suuntaisiksi siten, että

$\mathbf {\epsilon } ={\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{2}\end{bmatrix}}$ (4c)

Täten yhtälö 4a tulee muotoon

$k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}})E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0$ (5a)

$k_{x}k_{y}E_{x}+(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}})E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0$ (5b)

$k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}})E_{z}=0$ (5c)

missä E_x, E_y, E_z, k_x, k_y ja k_z ovat sähkökentän E₀ ja aaltovektorin k komponentit koordinaattiakselien suunnassa. Tämä on lineaarinen yhtälöryhmä, jossa tuntemattomat ovat E_x, E_y ja E_z, ja sillä on ei-triviaalit ratkaisut, jos yhtälöryhmän determinantti on nolla:

$\det {\begin{bmatrix}(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}})&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}})&k_{y}k_{z}\\k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}})\end{bmatrix}}=0$ (6)

Suorittamalla yhtälön (6) kertolaskut ja järjestämällä termit uudestaan saadaan:

${\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}}}\right)(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})=0$ (7)

Yksiakselisen materiaalin tapauksessa, kun n_x=n_y=n_o ja n_z=n_e, yhtälö 7 voidaan saattaa muotoon

$\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{o}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{e}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{e}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{o}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0$ (8)

Yhtälössä 8 jokainen kerroin määrittelee k-avaruudessa pinnan - aalto­normaalien pinnan. Ensimmäinen kerroin määrittelee pallon ja toinen ellipsoidin. Tämän vuoksi jokaista aalto­normaalin suuntaa kohti on olemassa kaksi sallittua aalto­vektoria k. Aalto­vektorin arvo pallopinnalla vastaa yleis­sääntöistä (ordinaarista), kun taas sen arvo ellipsoidi­pinnalla vastaa erikois­sääntöistä (ekstra­ordinaarista) sädettä.

Kaksiakselisen materiaalin tapauksessa yhtälöä (7) ei voida muokata samalla tavalla, ja aalto­normaali­pinnat ovatkin tällöin monimutkaisempia.

Kahtaistaittavuus mitataan usein säteille, jotka kulkevat jonkin optisen akselin suuntaisesti. Tässä tapauksessa taitekertoimella n on kaksi ominaisarvoa, joille voidaan käyttää merkintöjä n₁ ja n₂. Taitekerroin n voidaan diagonalisoida seuraavasti:

$\mathbf {n} =\mathbf {R(\chi )} \cdot {\begin{bmatrix}n_{1}&0\\0&n_{2}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {R(\chi )} ^{\textrm {T}}$ (9)

missä R(χ) on rotaatiomatriisi kulmassa χ. Sen sijaan, että olisi määritettävä koko tensori n, riittää määrittää kahtaistaittavuuden magnitudi Δn, ja ekstinktiokulma χ, missä Δn = n₁ − n₂.

Tyhjiön kahtaistaittavuus

Kvantti-ilmiöiden vuoksi tyhjiökin voi käyttäytyä kahtaistaittavan väliaineen tavoin. Kun kenttä on hyvin heikko ja muuttuu hitaasti, Eulerin ja Heisenbergin teorian mukainen Lagrangen funktio saa rajatapauksessa muodon:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]$

missä $\alpha$ on hienorakennevakio ja m elektronin massa.

Efektiivinen sähköinen permittiivisyystensori ja magneettinen permeabilitensori ovat tällöin:

${\begin{aligned}\epsilon _{ik}&=\left[1+{\frac {8\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)\right]\delta _{ik}+{\frac {28\alpha ^{2}}{45m^{4}}}B_{i}B_{k}\\\mu _{ik}&=\left[1-{\frac {8\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)\right]\delta _{ik}+{\frac {28\alpha ^{2}}{45m^{4}}}E_{i}E_{k}\end{aligned}}$

Kun tasoaalto kulkee alueella, jossa magneettikenttä on vakio, todetaan olevan kaksi ominaistilaa. Toisella tasoaallon sähköinen komponentti on kohtisuorassa aaltovektorin ja magneettikentän määräämää tasoa vastaan, toisella taas magneettinen komponentti on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan. Edellisellä on taitekerroin $1+{\frac {8\alpha ^{2}}{45m^{4}}}B^{2}\sin ^{2}(\theta )$, missä $\theta$ on aaltovektorin ja magneettikentän välinen kulma, kun taas jälkimmäisen taitekerroin on $1+{\frac {14\alpha ^{2}}{45m^{4}}}B^{2}\sin ^{2}(\theta )$.

Aiheesta muualla

• http://www.olympusmicro.com/primer/lightandcolor/birefringence.html (Arkistoitu – Internet Archive)
• [1] Video jännityksen aikaansaamasta kahtaistaittavuudesta polymetyylimetakrylaatissa (PMMA eli pleksilasi)
• Huomautuksia kahtaistaittavuuden sovelluksista
• Taiteilija Austine Wood Comarow käyttää kahtaistaittumista luodakseen kineettisiä kuvia.