Riemannin integraali

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Riemannin integraali on sovellettu integraali, joka on mittaintegraaleihin verrattuna helpommin määriteltävissä. Sen avulla voi määrittää pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja.

Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion alle jäävän pinta-alan jakamiseen äärettömän pieniin paloihin. Sillä on teoreettisia rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot. On olemassa funktioita, jotka ovat Lebesgue-integroituvia mutta eivät ole Riemann-integroituvia.

Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.

Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio.

Riemannin integraalin määrittely[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käyrän y=f(x), x-akselin sekä suorien x=a ja x=b väliin jäävä tasokuvio S, jonka pinta-ala yritetään määrittää

Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat , ja , sekä käyrä , missä on funktio . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen käytetään merkintää:

Funktion halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.

Tämä määrittely tehdään jakamalla väli osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran ja käyrän väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.

Riemannin integraalia määritettäessä jaetaan funktion tutkittava väli osaväleihin, jolloin jakopisteinä ovat , joihin approksimoidaan suorakulmiot. Jakopisteiden tihentyessä infinitesimaalisen välimatkan päähän toisistaan saadaan funktion integraali summaamalla suorakulmiot.

Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon ja . Välin -välinen jako on lukujono

,

jolle pätee kaikilla , ja . Tällöin välit , missä , muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin osituksen.

Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia , ja lisäksi oletetaan, että on -jakoinen, missä siis on luonnollisten lukujen jono. Jaon jakopisteitä merkitään symbolilla , missä , eli toisin sanoen

.

Jaon pisin jakoväli on luku

.

Jako on jaon tihennys, jos , eli jaossa on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa . Jakojen jono on tihenevä, jos jokainen jako on sitä edeltävän jaon tihennys.

Riemannin summa ja integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon välin jako, ja jono

sellainen, että kaikilla .

Olkoon funktio . Funktion jakoa pisteissä vastaava Riemannin summa on

.

Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on ja korkeus . Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle voidaan kaikille tiheneville jakojonoille valita pisteet siten, että vastaava Riemannin summien jono ei suppene.

Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden valinnasta.

Olkoon jakojen jono tihenevä ja , kun . Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä . Sanotaan, että funktion Riemannin summilla on raja-arvo , jos jokaiselle luvulle on olemassa luvut ja siten, että

, kun ,

ja on yksikäsitteinen kaikilla jonolla . Jos Riemannin summilla on raja-arvo , niin funktio on Riemann-integroituva välillä ja sen Riemannin integraali on luku . Tällöin merkitään

.

Tässä merkintätavassa funktiota kutsutaan integrandiksi.

Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.

Darboux'n integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon reaalifunktio . Funktion Darboux'n yläsumma jaolla on

.

Vastaava Darboux'n alasumma on

.

Olkoon jakojen jono tihenevä ja , kun . Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot ja , monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku

.

Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku

.

Funktio on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli

.

Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion Darboux'n integraaliksi yli välin .

Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin

.

Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.

Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös ja , joissa P on välin jako.

Riemannin integraalin määritelmän yleistäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko sellainen, että , reaalifunktio ja sen rajoittuma välille . Jos on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että on Riemann-integroituva välillä , ja funktion Riemannin integraaliksi yli välin määritellään

.

Lisäksi määritellään

ja

.

Epäoleellinen integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.

Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.

Olkoon funktio Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo

on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion epäoleellinen integraali yli välin on

.

Funktiolle epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.

Olkoon funktio Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos raja-arvo

on olemassa, niin funktion epäoleellinen integraali yli välin on

.

Samoin määritellään funktiolle

.

Riemannin integraalin ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.

Riemann-integroituvia funktioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.

Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jos ja ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin
  • Jos ja ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin kaikilla minmax
  • Jos ja ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin kaikilla minmax

Integraalilaskennan väliarvolauseita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos funktio on Riemann-integroituva välillä , niin

.

Jos on jatkuva välillä , niin on olemassa siten, että

.

Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseksi.

Jos funktiot ja ovat Riemann-integroituvia välillä , ja

,

niin

.

Jos on jatkuva välillä , niin on olemassa siten, että

.

Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.

Olkoon jono Riemann-integroituvia funktioita .

Jos suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

.

Jos sarja

suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

.

Riemannin integraalin arvon määrääminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.

Analyysin ensimmäinen peruslause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos on välillä jatkuva funktio ja jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö

.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin

arvo. Koska funktiolle

pätee

,

niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos

.

Integrointi sijoittamalla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon jatkuva funktio reaalivälillä . Jos funktio , jonka derivaatta on jatkuva ja jolle ja , niin

Tässä siis muuttujan tilalle sijoitetaan muuttujan kuvaus , eli identtisen kuvauksen tilalle sijoitetaan kuvaus . Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin

laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa.

Sijoitetaan muuttujan tilalle kuvaus . Nyt edellä olevan kaavan merkinnöin

  • ja
  • .

Koska

ja ,

rajoiksi saadaan

ja

Sijoittamalla nämä arvot ja muuttujanvaihtokaavaan, saadaan

Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Koska saadaan:

Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on

Sijoittamalla seuraa:

Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos

Osittaisintegrointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon ja derivoituvia sekä derivaatat ja Riemann-integroituvia välillä . Tällöin

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan Riemannin integraali osittaisintegroinnilla. On annettu integraali:

Valitaan osittaisintegrointikaavassa

Tällöin

Osittaisintegrointikaavan mukaan:


Riemannin integraalin sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.

Tasokuvion pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasokuvion, joka jää suorien ja sekä x-akselin ja jatkuvan funktion kuvaajan sisäpuolelle, pinta-ala on

.
Funktion f kuvaaja sinisellä, funktion g kuvaaja punaisella ja niiden väliin jäävä tasokuvio vaaleansinisellä

Yleisemmin, jos ja ovat jatkuvia funktioita ja , niin niiden kuvaajien sekä suorien ja väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on

.

Käyrän pituus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Käyrän pituus

Olkoon tasokuviossa jatkuva käyrä, joka on kuvaus

,missä ja ovat kuvauksia , joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä . Tällöin käyrän pituus on:

Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on jatkuva funktio, niin suorien ja ja käyrän x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on

.

Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on funktio , joka on positiivinen välillä ja jonka derivaatta on jatkuva välillä , niin käyrän pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on

.

Lisäesimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1.[1]

                          (laskeva suora)
          (paraabelin kaari)
                            (nouseva suora)

Integraalin pienin arvo on , ja se on paraabelin kaaren alueella t:n arvolla .

2. [2]

Esimerkki liittyy esim. kolikon heittämiseen, missä kruunan todennäköisyys on p ja klaavan näin ollen 1-p. Kolikkoa on heitetty n kertaa ja saatu k kruunaa ja n-k klaavaa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet
  1. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, s. 10, tehtävä 10. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.
  2. How to evaluate this integral? (relating to binomial) 19.3.2012. Mathematics Stack Exchange. Viitattu 9.6.2013. (englanniksi)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]