Analyysin peruslause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Analyysin peruslauseet ovat lauseita, joiden mukaan kaksi analyysin perusmääritelmää, derivointi ja integrointi, ovat toistensa käänteistoimituksia. Analyysin peruslauseita on väitteen kumpaakin puoliskoa varten yksi, ja niiden nimet ovat analyysin ensimmäinen peruslause ja analyysin toinen peruslause. Siitä, kumpi on kumpi, ei liene täysin yksimielistä käytäntöä.

Analyysin ensimmäinen peruslause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on välillä jatkuva funktio ja jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:

Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa

, missä .[1]

Analyysin toinen peruslause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot ja funktion primitiivejä. Tällöin löytyy vakio siten, että

kaikille x.

Geometrinen tarkastelu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Punaisella funktion alue pisteeseen asti. Sininen ja punainen alue yhdessä vastaa :n aluetta asti.

Merkitään kuvasta funktion alueen kokoa funktiolla . Olkoon sinisen alueen leveys . Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle:

Toisaalta sininen alue on . Yhdistämällä saadaan:

Siis on :n derivaatta, kun väli lähestyy nollaa.

Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta saadaan funktio .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Adams, Robert A.: ”5.5”, Calculus: A Complete Course, s. 297. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]