Käyrän pituus

Pisteiden välisten matkojen summa antaa approksimaation käyrän pituudesta.

Käyrän pituus, s, funktiolle f saadaan integraalina

$\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Määritelmä

Olkoon funktio f määritelty suljetulla välillä $[a,b]$, jolloin voidaan muodostaa f:n rajoittuma tälle välille eli $g:[a,b]\to \mathbb {R}$, missä $g(x)=f(x)$ kaikilla $x\in [a,b]$. Lisäksi vaaditaan, että funktiolla f on jatkuva derivaatta f'. Olkoon K funktion g kuvaaja.

Määritellään piste P_i joksikin kuvaajan K pisteeksi ($x_{i},f(x_{i}))$, $x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}$ ja $x_{0}=a,x_{n}=b$.

Tällöin kuvaajan K pituus on peräkkäisten pisteiden $(P_{i},P_{i+1})$, jossa $i\in [0,n-1]$, välisten etäisyyksien summan raja-arvo, kun välin jakoa tihennetään rajatta.

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}|{P_{i-1}P_{i}}|&=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+[f(x_{i})-f(x_{i-1})]^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\left(1+{\frac {[f(x_{i})-f(x_{i-1})]^{2}}{\Delta x^{2}}}\right)\Delta x^{2}}},\,\Delta x=(x_{i}-x_{i-1})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\left(1+\left({\frac {f(x_{i})-f(x_{i-1})}{\Delta x}}\right)^{2}\right)}}\Delta x\\\end{aligned}}$

Kun Δx → 0, termi ${\frac {f(x_{i})-f(x_{i-1})}{\Delta x}}=f'(x)$

Saadaan integraali:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Käyrän pituus johdettuna differentiaalien avulla

${\begin{aligned}(ds)^{2}&{}=(dx)^{2}+(dy)^{2}\\L&{}=\int \ ds\\&{}=\int \ {\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\\&{}=\int \ {\sqrt {(dx)^{2}\left[{1+\left({dy \over dx}\right)^{2}}\right]}}\\L&{}=\int _{}^{}{\sqrt {1+\left({dy \over dx}\right)^{2}}}dx\end{aligned}}$