Välin jako

Välin jako tarkoittaa matematiikassa lukuvälin pilkkomista pienempiin väleihin. Jako on joukko niistä pisteistä, joissa väli katkaistaan. Esimerkiksi väli $[1,5]$ voitaisiin jakaa osaväleihin $[1,4]$ ja $[4,5]$. Välin jako olisi tällöin $P=\{1,4,5\}$.

Reaaliakselin välin jako

Välin $[a,b]\subset \mathbb {R}$ jako $P$ on pistejono $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}$, missä $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b$. Jako $P$ jakaa välin $[a,b]$ kompakteihin osaväleihin $[x_{k-1},x_{k}],k=1,\dots ,q$, missä $x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{q-1}<x_{q}=b$.

Jakoa käytetään Riemann-integraalin määrittelyssä.

Avaruuden välin jako ja osavälijako

Välin $I=[a_{1},b_{1}]\times \dots \times [a_{m},b_{m}]\subset \mathbb {R} ^{m}$ jako $P$ on karteesinen tulojoukko

$P=P^{(1)}\times \dots \times P^{(m)}$,

missä $P^{(j)}$ on komponenttivälin $I^{(j)}=[a_{j},b_{j}]$ jako $q_{j}$:een kompaktiin osaväliin, kun ${\textstyle j=1,\dots ,m}$. $P$ jakaa välin $I$ yhteensä $q_{1}\cdot q_{2}\dotsb q_{m}$:ään kompaktiin osaväliin. Jos näitä osavälejä merkitään $I_{\alpha }$:lla, missä $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})$ ja $\alpha _{j}=1,\dots ,q_{j}$, niin väli $I$ voidaan kirjoittaa osavälijakonsa avulla:

$I=\bigcup _{\alpha }I_{\alpha }=\bigcup _{\alpha _{1}=1}^{q_{1}}\dots \bigcup _{\alpha _{m}=1}^{q_{m}}I_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$

Jaon hienonnus

Jako $P'$ on jaon $P$ hienonnus eli alijako, mikäli $P\subset P'$. Tällöin sanotaan myös, että jako $P'$ on hienompi kuin jako $P$, ja jako $P$ on karkeampi kuin jako $P'$. Hienonnus tarkoittaa siis "tiheämpää" jakoa, johon kuuluvat myös karheamman eli "harvemman" jaon alkiot. Esimerkin jakoa P voisi hienontaa vaikka lisäämällä jakoon luvut 2 ja 3: $P'=\{1,2,3,4,5\}$.

Kahden jaon $P'$ ja $P''$ yhdiste $P=P'\cup P''$ on molempien jakojen yhteinen hienonnus.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).