Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli anti­derivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittais­integrointi­sääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimis­säännöstä. sovelluksena integraalilaskentaan.

Jos $u=u(x)$ ja $du=u'(x)\,dx$, kun taas $v=v(x)$ ja $dv=v'(x)dx$, osoittaisintegrointisäännön mukaan on

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\[6pt]&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}$

Tämä voidaan lyhemmin ilmaista muodossa

$\int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.$

Osittais­integroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli. Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittais­summauksena.

Osittais­integroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715.

Lause

Kahden funktion tulo

Osittais­integroinnin perustana oleva lause voidaan todistaa seuraavasti. Kun u(x) ja v(x) ovat jatkuvasti differenti­oituvia funktioita, tulon derivoimis­säännön mukaan on:

${\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\ =\ v(x)u'(x)+u(x)v'(x).$

Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan x:n suhteen:

$\int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,$

ja kun otetaan huomioon, että rajoiltaan määrittämätön integrointi on derivoinnin käänteis­toimitus, saadaan:

$u(x)v(x)\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,$

missä integroimisvakiota ei ole kirjoitettu näkyviin. Tästä saadaan seuraava osittais­integroinnin kaava:

$\int u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,$

mikä differentiaalien avulla voidaan kirjoittaa myös muotoon $\ du=u'(x)\,dx,\ \ dv=v'(x)\,dx,\quad$

$\int u(x)\,dv\ =\ u(x)v(x)-\int v(x)\,du.$

Tämän on ymmärrettävä sellaisten funktioiden yhtä­suuruudeksi, joista kumpaankin on lisätty määrittämätön vakio. Laskemalla kummallekin puolelle kahden arvon, x = a ja x = b, erotus ja soveltamalla analyysin peruslausetta saadaan määrättyä integraalia koskeva versio:

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.$

Alkuperäinen integraali ∫ uv′ dx sisältää derivaatan v′. Lauseen soveltamiseksi on löydettävä v':n integraalifunktio (antiderivaatta ja laskettava tuloksena saatu integraali ∫ vu′ dx.

Pätevyys vähemmän sileille funktiolle

Osittais­integrointi ei välttämättä edellytä, että funktiot u ja v ovat jatkuvasti differoituvia. Riittää, että u on absoluuttisesti jatkuva ja v:llä merkitty funktio Lebesgue-integroituva, ei välttämättä edes jatkuva. (Jos v:llä on epä­jatkuvuus­kohta, sen integraalifunktio v ei voi kyseisessä pisteessä olla derivoituva.)

Jos integroimisväli ei ole kompakti, u:n ei tarvitse välttämättä olla absoluuttisesti jatkuva eikä v:n Lebesgue-integroituva kyseisellä välillä. Tämän osoittavat seuraavat esimerkit, joissa u ja v ovat jatkuvia ja jatkuvasti differentioituvia. Esimerkiksi jos

$u(x)=\exp(x)/x^{2},\,v'(x)=\exp(-x)$

u ei ole absoluuttisesti jatkuva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

$\int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx$

mikäli $\left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }$:n katsotaan tarkoittavan lausekkeen $u(L)v(L)-u(1)v(1)$ raja-arvoa, kun $L\to \infty$ ja kunhan molemmat oikealla puolella olevat termit ovat äärellisiä. Tämä pätee vain, jos valitaan $v(x)=-\exp(-x).$ Samoin jos

$u(x)=\exp(-x),\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)$

v′ ei ole Lebesgue-integroituva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

$\int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx$

samoilla edellytyksillä.

Vastaavia esimerkkejä, joissa u ja v eivt ole jatkuvasti differentoituvia, voidaan myös helposti muodostaa.

Lisäksi jos funktio $f(x)$ on rajoitettu välillä $[a,b],$ ja $\varphi (x)$ differentioituva välillä $[a,b],$, on

$\int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),$

missä $d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))$ tarkoittaa etumerkillä varustettua mittaa, joka vastaa rajoitetusti vaihtelevaa funktiota $\chi _{[a,b]}(x)f(x)$, ja funktiot ${\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}$ ovat $f,\varphi$

n laajennuksia koko $\mathbb {R} ,$:ään, joista edellinen on rajoitetusti vaihteleva ja jälkimmäinen differentioituva.

Useamman funktion tulo

Kolmen funktion, u(x), v(x), w(x), tulolle saadaan vastaava tulos:

$\int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.$

Yleisemin n funktion tulolle pätee:

$\left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),$

mistä saadaan

$\left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).$

Havainnollistus

Osittais­integronnin graafinen tulkinta. Kuvioon merkitty käyrä on parametroitu muuttujalla t.

Tarkastellaan parametrimuodossa esitettyä käyrä (x, y) = (f(t), g(t)). Edellyttäen, että käyrä on lokaalisti injektio ja integroituva voidaan määritellä:

$x(y)=f(g^{-1}(y))$

$y(x)=g(f^{-1}(x))$

Oheisessa kaaviossa sinisellä merkityn alueen pinta-ala on

$A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy$

ja punaisella merkityn

$A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx$

Näiden summa A₁ + A₂ on yhtä kuin suuremman ja pienemmän suorakulmion pinta-alojen erotus, $x_{2}y_{2}-x_{1}y_{1}$, toisin sanoen:

$\overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx} ^{A_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}}^{x_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}}^{y_{2}}.$

Eli parametrin t avulla sanottuna:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}$

Käyttämällä määräämättömiä integraaleja tämä voidaan kirjoittaa muotoon

$\int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy$

tai siirtämällä termejä yhtälön toiselle puolelle edelleen muotoon

$\int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx$

Osoittaisintegrointi voidaan siis käsittää keinoksi, jolla sinisen alueen pinta-ala voidaan laskea suorakulmioiden ja punaisen alueen pinta-alojen avulla.

Tämä havainnollistus selittää myös sen, että osittais­integroinnilla voidaan usein määrittää käänteisfunktion f⁻¹(x) integraali, kun funktion f(x) integraali tunnetaan. Itse asiassa funktiot x(y) ja y(x) ovat toistensa käänteis­funktioita, ja integraali ∫ x dy voidaan laskea kuten edellä, jos integraali ∫ y dx tunnetaan. Erityisesti tämä selittää osittais­integroinnin käytön logaritmifunktion ja arkusfunktioiden integroimiseksi. Jos $f$ on differentioituva injektiivinen funktio jollakin välillä, osittais­integroinnilla voidaankin johtaa kaava funktion $f^{-1}$ integraalille $f$:n integraalin avulla.

Sovelluksia

Integraalifunktion löytäminen

Annetun funktion integraalifunktion määrittämiseksi osittais­integrointi on pikemminkin heuristinen kuin puhtaasti mekaaninen menetelmä. Kun integroitava funktio on annettu, on etsittävä kaksi sellaista funktiota, u(x) ja v(x), joiden tulo annettu funktio on, että osittais­integroinnin kaavassa jäljellä jäävä integroitava funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio. Aina sellaisia funktioita ei kuitenkaan ole helppo löytää. Jos sellaiset on löydettävissä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa:

$\int uv\ dx=u\int v\ dx-\int \left(u'\int v\ dx\right)\ dx.$

Yhtälön oikealla puolella u on differentioitu ja v integroitu; niinpä on joko valittava funktio u niin, että se yksin­kertaistuu differentoitaessa, tai funktio v niin, että se yksin­kertaistuu integroitaessa. Yksin­kertaisena esimerkkinä voidaan käyttää funktiota

$\int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .$

Koska ln(x):n derivaatta on ${\frac {1}{x}}$, funktioksi u valitaan ln(x), ja koska ${\frac {1}{x^{2}}}$:n integraalifunktio on $-{\frac {1}{x}}$, differentiaaliksi dv valitaan ${\frac {1}{x^{2}}}$. Näin saadaan:

$\int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .$

Funktion ${\frac {1}{x^{2}}}$ integraalifunktio saadaan potenssin integrointi­säännön avulla ja se on $-{\frac {1}{x}}$

Vaihtoehtoisesti u ja v voidaan valita siten, että tulo u′ (∫v dx) yksinkertaistuu termien kumoutuessa. Esimerkiksi jos on laskettava integraali

$\int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.$,

voidaan valita u(x) = ln(|sin(x)|) ja v(x) = sec²x. Silloin u:n differentiaaliksi saadaan ketjusäännön avulla 1/ tan x, ja v:n integraalifunktio on tan x, joten kaavasta saadaan:

$\int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .$

Integroitava yksinkertaistuu vakioksi 1, joten sen integraalifunktio on x. Yksinkertaistavan kombinaation löytäminen edellyttää usein kokeiluja.

Joskus osittais­integrointi on käyttökelpoinen menetelmä, vaikka integraalille $\int u'(x)v(x)\,dx,$ ei voitaisikaan esittää yksinkertaista lauseketta. Esimerkiksi numeerisessa analyysissä tulo $u(x)v(x)$ sellaisenaan on usein riittävän hyvä likiarvo integraalille $\int u(x)v'(v)\,dx$, mikäli integraali $\int u'(x)v(x)\,dx,$ on siihen verrattuna itseisarvoltaan niin pieni, että se voidaan jättää huomioon ottamatta.

Polynomit ja trigonometriset funktiot

Integraalin

$I=\int x\cos(x)\ dx\ ,$

laskemiseksi valitaan

$u=x\ \Rightarrow \ du=dx$

$dv=\cos(x)\ dx\ \Rightarrow \ v=\int \cos(x)\ dx=\sin(x)$

jolloin:

${\begin{aligned}\int x\cos(x)\ dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\ dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}$

missä C on integroimisvakio.

Kun integroitavassa funktiossa esiintyy x:n korkeampia potensseja, kuten lausekkeissa

$\int x^{n}e^{x}\ dx,\ \int x^{n}\sin(x)\ dx,\ \int x^{n}\cos(x)\ dx\ ,$

integraali voidaan laskea suorittamalla osittais­integrointi useampaan kertaan, jolloin joka kerta x:n eksponentti pienenee yhdellä.

Eksponentti- ja trigonometriset funktiot

Usein käytetty esimerkki integraalista, joka voidaan laskea osittais­integroinnilla, on

$I=\int e^{x}\cos(x)\ dx.$

Tässä osittais­integrointia sovelletaan kahdesti. Ensin valitaan

$u=\cos(x)\ \Rightarrow \ du=-\sin(x)\ dx$

$dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}$

jolloin integraali saadaan muotoon:

$\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\ dx.$

Jäljellä olevan integraalin laskemiseksi käytetään jälleen osittais­integrointia valitsemalla

$u=\sin(x)\ \Rightarrow \ du=\cos(x)\ dx$

$dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}.$

Saadaan:

$\int e^{x}\sin(x)\ dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.$

Yhdistämällä nämä saadaan:

$\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.$

Sama integraali esiintyy tämän yhtälön molemmilla puolilla. Integraali voidaan yksinkertaisesti lisätä molemmille puolille, jolloin saadaan

$2\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,$

ja siitä edelleen

$\int e^{x}\cos(x)\ dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'$

missä C (ja C′ = C/2) on jälleen integroimisvakio.

Vastaavalla menettelyllä voidaan määrittää sekantin kuution integraali.

Funktiot kerrottuna yhdellä

Kaksi muuta hyvin tunnettua esimerkkiä ovat tapauksia, joissa osittais­integrointia sovelletaan funktioon ilmaistuna itsensä ja vakion 1 tulona. Tämä on mahdollista, jos funktion derivaatta tunnetaan ja jos myös tämän derivaatan ja x:n tulon integraali tunnetaan.

Ensimmäinen esimerkki on ∫ ln(x) dx. Kirjoitetaan tämä muotoon:

$I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .$

Valitaan:

$u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}$

$dv=dx\ \Rightarrow \ v=x$

jolloin saadaan:

${\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}$

missä C on integroimisvakio.

Toinen esimerkki on arkustangentti, arctan(x):

$I=\int \arctan(x)\ dx.$

Kirjoitetaan tämä muotoon

$\int \arctan(x)\cdot 1\ dx.$

Nyt valitaan:

$u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}$

$dv=dx\ \Rightarrow \ v=x$

jolloin käyttämällä sekä sijoitus­menetelmää että luonnollisen logaritmin integraaliehtoa saadaan:

${\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}$.

LIATE-sääntö

Sille, miten osittais­integroinnissa käytettävät funktiot u ja v on valittava, on esitetty nyrkkisääntö, jonka mukaan u on se funktio, joka on ensimmäisenä seuraavassa luettelossa:

L – logaritmifunktiot: $\ln(x),\ \log _{b}(x),$ jne.

I – arkusfunktiot (engl. inverse trigonometric function): $\arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),$ jne.

A – algebralliset funktiot: $x^{2},\ 3x^{50},$ jne.

T – trigonometriset funktiot: $\sin(x),\ \tan(x),$ jne.

E – eksponenttifunktiot: $e^{x},\ 19^{x},$ jne.

Differentiaali dv muodostetaan funktiosta v, joka on jäljempänä listalla: niiden integraalifunktiot on helpommin muodostettavissa kuin edellä olevien funktioiden. Säännöstä käytetään joskus myös nimeä "DETAIL", missä D viittaa differentiaaliin dv.

LIATE-säännön havainnollistamiseksi tarkastellaan integraalia

$\int x\cdot \cos(x)\,dx.$

LIATE-säännön mukaisesti valitaan u = x, ja dv = cos(x) dx, mistä saadaan du = dx, ja v = sin(x), jolloin integraali saa muodon

$x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,$

joka on yhtä kuin

$x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.$

Yleensä yritetään valita u ja dv siten, että du on yksinkertaisempi kuin u ja dv on helppo integroida. Jos sen sijaan uksi valittaisiin cos(x) ja dv:ksi x dx, saataisiin integraali

${\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,$

ja jos tähän edelleen sovelletaan toistuvasti osittais­integrointia, joudutaan selvästikin päättymättömään rekursioon eikä integraalia saada määritetyksi.

Vaikka LIATE on hyvä yleissääntö, siitä on poikkeuksia. Yleinen vaihtoehto on käyttää sen sijasta "ILATE"-sääntöä. Toisinaan polynomitermit on myös hajotettava ei-triviaaleilla tavoilla. Esimerkiksi integraalin

$\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,$

määrittämiseksi valitaan

$u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,$

niin että

$du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.$.

Saadaan

$\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int (x^{2})\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.$

Tämä johtaa lopulta tulokseen

$\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}(x^{2}-1)}{2}}+C.$

Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia

Osittais­integrointi­sääntöä voidaan käyttää matemaattisessa analyysissä myös monien lauseiden todistamiseen.

Wallisin tulo

John Wallis esitti $\pi$:n arvon laskemiseksi päättymättömän tulon:

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}$.

Osittais­integroinnin avulla voidaan todistaa, että tämän tulon raja-arvo on $\pi$.

Gammafunktio ja kertoma

Gammafunktio on esimerkki erikoisfunktiosta, joka on määritelty $z>0$:n epäoleellisen integraalin avulla. Osittais­integroinnilla voidaan osoittaa, että se on samalla kertoman yleistys:

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}$

Koska

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,$

kun $z$ on luonnollinen luku, toisin sanoen $z=n\in \mathbb {N}$, käyttämällä tätä kaavaa toistuvasti saadaan kertoma: $\Gamma (n+1)=n!$

Käyttö harmonisessa analyysissä

Osittais­integrointia käytetään usein harmonisessa analyysissä, varsinkin Fourier-analyysissä osoittamaan, että Riemannin–Lebesguen lemman mukaisesti nopeasti värähtelevät integraalit, joissa on tarpeeksi tasainen integrandi, pienenevät nopeasti nollaan. Tavallisin esimerkki tästä on osoittaa, että funktion Fourier-muunnoksen pieneneminen riippuu funktion sileydestä jäljempänä selitetyllä tavalla.

Derivaatan Fourier-muunnos

Jos f on k kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja sen kaikki derivaatat k:nteen saakka lähestyvät nollaa x:n kasvaessa rajatta, sen Fourier-muunnos toteuttaa yhtälön

$({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),$

missä f^(k) on funktion f k:s derivaatta. Tämä voidaan todistaa toteamalla, että

${\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },$

joten soveltamalla osittais­integrointia Fourier-muunnoksen derivaattaan saadaan

${\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}$

Toistamalla tämä induktiivisesti saadaan tulos mille tahansa k:n arvolle. Samaan tapaan voidaan löytää funktion derivaatan Laplace-muunnos.

Fourier-muunnoksen suppeneminen

Edellä saatu tulos liittyy Fourier-muunnoksen suppenemiseen, sillä siitä seuraa, että jos f ja f^(k) ovat integroituvia, niin

$\vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.$

Toisin sanoen jos f toteuttaa nämä ehdot, sen Fourier-muunnos lähestyy nollaa ξ:n kasvaessa rajatta vähintään yhtä nopeasti kuin 1/|ξ|^k. Erityisesti jos k ≥ 2, Fourier-muunnos on integroituva.

Tämän todistamiseen käytetään seuraavaa epäyhtälöä, joka seuraa suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä:

$\vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.$

Soveltamalla samaa ideaa tämän osion alussa olevaan yhtälöön saadaan:

$\vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.$

Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä ja jakamalla 1 + |2Malline:Piξ^k| saadaan tulos todistetuksi.

Käyttö operaattoriteoriassa

Operaattoriteoriassa osittais­integrointia käytetään muun muassa sen osoittamiseen, että −∆, missä ∆ on Laplacen operaattori, on positiivinen operaattori L^p-avaruudessa L². Jos f on sileä ja kompaktisti kannatettu, saadaan osittais­integroinnilla

${\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}$

Muita sovelluksia

Osittais­integroinnilla voidaan myös määrittää reunaehdot Sturmin-Liouvillen teoriassa. Lisäksi sen avulla voidaan johtaa Eulerin-Lagrangen yhtälö variaatio­laskennassa.

Toistuva osittaisintegrointi

Osittais­integroinnin kaavassa esiintyvän $v$:n toisen derivaatan tarkastelu integraalisissa LHS:n yli viittaa siihen, että integrointi RHS:n yli voidaan suorittaa toistuvasti:

$\int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).$

Tämän toistuvan osittais­integroinnin käsitteen laajennus n:nnen asteen derivaattoihin johtaa tulokseen

${\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}$

Tämä on usein käyttökelpoista, kun $v^{(n)}$:n peräkkäiset integraalit on helposti saatavissa, esimerkiksi kun kyseessä on eksponenttifunktio, sini tai kosini, kuten Laplacen tai Fourier'n muunnoksessa ja kun $u$:n n:s derivaatta häviää, esimerkiksi kun kyseessä on $(n-1)$:nnen asteen polynomifunktio. Jälkimmäinen ehto rajoittaa sitä, kuinka moneen kertaan osoittaisintegrointi voidaan toistaa, sillä RHS-integraali häviää.

Toistaessa tätä osittais­integrointia ilmenee yhteys integraalien

$\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad$ and $\quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad$ ja

$\quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n$ välillä. Tämä voidaan tulkita mielivaltaiseksi derivaattojen vaihdokseksi funktioiden $v$ ja $u$ välillä integrandissa, ja se on myös osoittautunut käyttökelpoiseksi.

Taulukoitu osittaisintegrointi

Edellä olevan kaavan oleellinen sisältö voidaan ilmaista taulukon muodossa, ja menetelmää sanotaankin "taulukoiduksi (tabulaariseksi) integroinniksi". Se esiintyy myös elokuvassa Älä anna periksi (engl. Stand and Deliver).

Tarkastellaan esimerkiksi integraalia

$\int x^{3}\cos x\,dx\quad$

ja valitaan $\quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.$

Listan alussa sarakkeessa A on funktio $u^{(0)}=x^{3}$ ja sen eriasteiset derivaatat, $u^{(i)}$ kunnes ne tulevat nollaksi. Sarakkeeseen B taas merkitään funktio $v^{(n)}=\cos x$ ja sen peräkkäiset integraalifunktiot $v^{(n-i)}$, kunnes sarakkeessa B on yhtä monta riviä kuin A:ssakin. Saadaan seuraava taulukko:

# i	Etumerkki	A: derivaatat u(i)	B: integraalit v(n−i)
0	+	$x^{3}$	$\cos x$
1	−	$3x^{2}$	$\sin x$
2	+	$6x$	$-\cos x$
3	−	$6$	$-\sin x$
4	+	$0$	$\cos x$

Taulukon i:nnellä rivillä sarakkeissa A ja B olevien lausekkeiden tulo yhdessä vastaavan etumerkin kanssa antaa ne integraalit, jotka saadaan toistettaessa osittais­integrointi i kertaa. Kun i = 0, saadaan alkuperäinen integraali. Täydellinen tulos saadaan, kun i:s integraali lasketaan yhteen kaikkien niiden tulojen kanssa, jotka saadaan kertomalla ylempänä sarakkeella A j:nnellä rivillä ja sarakkeella B j+1:nnellä rivillä ((0 ≤ j < i) olevat lausekkeet keskenään (siis esimerkiksi sarakkeen A ensimmäisen rivin lauseke kerrotaan sarakkeen B toisen lausekkeen kanssa, sarakkeen A toisen rivin lauseke sarakkeen B kolmannen rivin lausekkeen kanssa jne.) ja varustamalla kukin niistä j:nnen rivin etumerkillä. Tämä prosessi lopetetaan luonnollisesti, kun tulo, joka antaa integraalin, on nolla (tässä esimerkissä neljännellä rivillä). Lopputulos vuorottelevine etumerkkeineen on seuraava:

$\underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.$

Tästä saadaan:

$\underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.$

Toistettu osittais­integrointi osoittuu käyttökelpoiseksi myös, kun differentioitaessa funktiota $u^{(i)}$ ja integroitaessa funktiota ja integroitaessa funktiota $v^{(n-i)}$ niiden tuloksi saadaan alkuperäisen integrandin monikerta. Tässä tapauksessa toisto voidaan myös lopettaa tällä indeksin arvolla i. Näin voi tapahtua varsinkin, kun kyseessä on eksponentti- tai trigonometriset funktiot. Tarkastellaan esimerkiksi integraalia

$\int e^{x}\cos x\,dx.$

# i	Etumerkki	A: derivaatat u(i)	B: integraalit v(n−i)
0	+	$e^{x}$	$\cos x$
1	−	$e^{x}$	$\sin x$
2	+	$e^{x}$	$-\cos x$

Tässä tapauksessa sarakkeilla A ja B olevien termien tulot varustettuina indeksin arvoa $i=2$ vastaavalla etumerkillä antaa tulokseksi alkuperäisen integrandin vastaluvun (vertaa rivejä i=0 ja i=2).

$\underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.$

Kun otetaan huomioon, että RHS:n integraalilla on oma integroimisvakionsa $C'$ ja siirtämällä abstrakti integraali yhtälön toiselle puolelle saadaan

$2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',$

ja lopulta:

$\int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,$

missä C = C′/2.

Korkeammat ulottuvuudet

Osittais­integrointi voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioihin soveltamalla analyysin peruslauseen sopivaa versiota sopivaan tulosääntöön. Monen muuttujan integraali­laskennassa on useita mahdollisia keinoja ilmaista funktio kahden funktion tulona, josta toinen on skalaariarvoinen funktio u ja toinen vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä) V.

Vektorianalyysissa divergenssin tulosäännön mukaan on:

$\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .$

Olkoon $\Omega$ jokin $\mathbb {R} ^{n}$:n avoin rajoitettu osajoukko, jolla on paloittain sileä reuna $\Omega$. Integoimalla $\Omega$:n yli standardin tilavuuskaavan $d\Omega$ suhteen ja soveltamalla divergenssiteoreemaa saadaan:

$\int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma \ =\ \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,$

missä ${\hat {\mathbf {n} }}$ on reunalla ulospäin osoittava kohtisuora yksikkövektori integroituna standardin Riemannin tilavuuden $d\Gamma$ suhteen. Uudelleenjärjestelemällä saadaan:

$\int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,$

eli toisin sanoen

$\int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .$

Lauseen säännöllisyysvaatimuksia voidaan lieventää. Esimerkiksi riittää, että reuna $\Gamma =\partial \Omega$ on Lipschitz-jatkuva ja funktiot u ja v kuuluvat Sobolevin avaruuteen H¹(Ω).

Greenin ensimmäinen identiteetti

Tarkastellaan jatkuvia vektorikenttiä $\mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}$ ja $v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}$, missä $\mathbf {e} _{i}$ on $i=1,\ldots ,n$:n i:s standardi kantavektori. Sovelletaan osittais­integrointia jokaiseen lausekkeeseen, joka saadaan kertomalla vektorikenttä $v\mathbf {e} _{i}$ jollakin kertoimista $u_{i}$:

$\int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .$

Laskemalla nämä yhteen saadaan uusi osittais­integrointi­kaava:

$\int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .$

Tapaus $\mathbf {U} =\nabla u$, missä $u\in C^{2}({\bar {\Omega }})$, tunnetaan ensimmäisenä Greenin identiteettinä:

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .$

Katso myös

• Sijoitusmenetelmä