Pascalin kolmio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.

Pascalin kolmio on matematiikassa binomikertoimista kolmion muotoon koottu järjestelmä. Pascalin kolmio nimettiin ranskalaisen matemaatikon Blaise Pascalin mukaan. Pascal itse ei keksinyt Pascalin kolmion käsitettä, sillä jo muinaiset persialaiset, kiinalaiset, intialaiset ja italialaiset tunsivat sen.[1][2] Kuitenkin vasta Pascal havaitsi sen käyttökelpoisuuden moninaisissa matemaattisissa ongelmissa.

Pascalin kolmio voidaan muodostaa siten, että ylhäältä alaspäin edettäessä jokainen uuden rivin luku on sen yläpuolella vasemmalla ja oikealla puolella olevien lukujen summa. Jokainen reunalla oleva luku on 1. Alla Pascalin kolmion rivit nollasta kymmeneen:

                                             1
                                          1     1
                                       1     2     1
                                    1     3     3     1
                                 1     4     6     4     1
                              1     5     10    10    5     1
                           1     6     15    20    15    6     1
                        1     7     21    35    35    21    7     1
                     1     8     28    56    70    56    28    8     1
                  1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
               1     10    45    120   210   252   210   120   45    10   1

Kertoimien yhteenlaskusäännön voi täydentää sijoittamalla tyhjille paikoille ykkösten vasemmalle ja oikealle puolelle nollia.

Merkitys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Binomilauseen mukaan binomin positiivinen kokonaislukupotenssi (a+b)n voidaan kehittää polynomiksi, jonka kertoimet, kun termit järjestetään a:n alenevien potenssien mukaan, saadaan Pascalin kolmion n+1:nneltä riviltä eli siltä riviltä, jonka toinen luku on n. Esimerkiksi lausekkeen (a + b)^4 kertoimet ovat 1, 4, 6, 4 ja 1 eli

(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Pascalin kolmiolla on tärkeä merkitys myös kombinatoriikassa ja sen sovelluksena todennäköisyyslaskennassa. Minkä tahansa n-alkioisen joukon sellaisten osajoukkojen lukumäärä, jossa on k alkiota, saadaan Pascalin kolmion n+1:nnen rivin k+1:nnestä kohdasta. Esimerkiksi neli­alkioisella joukolla on 1 sellainen joukko, jossa ei ole yhtään alkiota (tyhjä joukko), 4 yksi­alkiosta, 6 kaksi­alkioista ja 4 kolmi­­alkioista osaj­oukkoa sekä 1 neli­alkoinen osa­joukko eli alku­peräinen joukko itse.

Pascalin kolmion ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Luvun 11 neljä ensimmäistä potenssia saadaan Pascalin kolmion neljältä ensimmäiseltä riviltä kirjoittamalla rivillä olevat numerot välittömästi peräkkäin: 112 = 121, 113 = 1331 ja 114 = 14641. Tämä johtuu siitä, että 11 = 10 + 1 ja esimerkiksi (10 + 1)3 = 103 + 3 · 102 + 3 · 10 + 1 = 1331.
  • Kunkin Pascalin kolmion rivin lukujen summa on kaksi korotettuna rivin järjestysluvun osoittamaan potenssiin. Esimerkiksi 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23.
  • Reunojen jälkeen seuraavat vinoittain menevät luvut ovat luonnollisia lukuja: 1, 2, 3, 4, 5 ja niin edelleen.
  • Sisemmälle päin mentäessä seuraavat vinoittain menevät luvut ovat kolmiolukuja: 1, 3, 6, 10, 15 ja niin edelleen.
  • Sisemmälle päin mentäessä seuraavat vinoittain menevät luvut ovat tetraedrilukuja: 1, 4, 10, 20, 35 ja niin edelleen.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. http://www.jstor.org/view/0024094x/ap050069/05a00460/0
  2. http://education.uncc.edu/cmste/summer/2006%20History%20of%20Mathematics/Andrew.doc