Binomilause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Alkeisalgebrassa binomilause kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on x tai y jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

Pascalin kolmion viisi ensimmäistä riviä. Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.

Kerroin a termissä xbyc tunnetaan binomikertoimena tai (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta

missä b! tarkoittaa luvun b kertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa n alkion joukolla on.

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia. Al-Karaji antoi myös matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.

Lauseen väite[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (x + y):n summaksi, joka on muotoa

missä jokainen on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan tai binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa

Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen x :n ja y :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pascalin kolmio

Tavallisin esimerkki binomilauseesta on x + y:n neliö:

Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet x + y:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :

Huomaa, että

  1. x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n ( n potenssissa
  2. y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on n (myös n potenssissa
  3. Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

Todistuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kombinatorinen todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

xy2n kerroin

on koska on kolme kolmen kirjaimen pituista x,y jonoa, joissa on tarkallen kaksi y'tä, nimittäin,

vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,

missä jokaisessa osajoukossa eritellään yn paikka vastaavassa jonossa.

Yleinen tapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun kehitetään auki (x + y)n niin se tuottaa 2 n tulojen summaa, jotka ovat muotoa e1e2 ... e n missä jokainen e i on x tai  y. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa xnkyk k: n arvoilla 0:sta n:ään. Kun k tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

  • alkioiden lukumäärä xn − kyk :n alkioiden kehitelmässä
  • n-alkioisten jonojen lukumäärä x:ää ja y:tä, joissa y on tarkalleen k kertaa
  • k-alkioisten osajoukkojan lukumäärä joukosta { 1, 2, ..., n}

Tämä todistaa binomilauseen.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]