Binomisarja

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Binomisarja on funktion Taylorin sarja, kun on mielivaltainen kompleksi- tai erikoistapauksessa reaaliluku. Se voidaan esittää muodossa

jolloin binomisarja on yhtälön (1) oikealla puolella oleva potenssisarja. Yhtälö pätee, kun tämä sarja suppenee.[1] Sen kertoimet voidaan esittää yleistettyinä binomikertoimina:

Erikoistapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos α on ei-negatiivinen kokonaisluku n, sarjan (n + 2):s ja kaikki sen jälkeiset termit ovat nollia, sillä ne ovat tuloja, joissa yksi tekijä on nn = =0. Tässä tapauksessa sarjassa on siis vain äärellinen määrä yhteen­laskettavia, ja tuloksena saadaan algebran binomilause.

Seuraava tulos pätee kaikille kompleksi­luvuille β, mutta se on erityisen hyödyllinen, kun yhtälössä (1) esiintyvä eksponentti on negatiivinen kokonaisluku:

Tämän todistamiseksi on yhtälössä (1) tehtävä korvaus x = −z in (1) ja sovellettava binomikertoimille johdettua tulosta

Suppeneminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suppenemisehdot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suppeneeko sarja (1), riippuu kompleksilukujen ja arvoista. Tarkemmin sanottuna:

  1. Jos , sarja suppenee itseisesti kaikilla kompleksiluvuilla α.
  2. Jos , sarja suppenee itseisesti, jos ja vain jos joko tai .
  3. Jos ja , sarja suppenee, jos ja vain jos
  4. Jos , sarja suppenee, jos ja vain jos joko tai .
  5. Jos , sarja hajaantuu, paitsi jos on ei-negatiivinen kokonaisluku (missä tapauksessa sarja yksin­kertaistuu äärelliseksi summaksi).

Toisin sanoen jos , sarjan suppenemissäde on 1.[2] Suppenemis­kiekon kehällä tilanteesta voidaan esittää seuraava yhteenveto:

  • Jos , sarja suppenee itseisesti.
  • Jos , sarja suppenee, vaikkakaan ei itseisesti, jos , ja hajaantuu, jos .
  • Jos , sarja hajaantuu.

Todistuksessa käytettyjä tuloksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaikille kompleksiluvuille  α: pätee:

Jos on ei-negatiivinen kokonaisluku, lausekkeen kertoimet ovat nollia, kun on suurempi kuin . Muussa tapauksessa kertoimille pätee käyttö­kelpoinen asymp­toottinen yhteys, joka Landaun symbolilla voidaan merkitä:e

Tämä on oleellisesti yhtäpitävä Eulerin gammafunktion määritelmän kanssa:

,

josta binomikertoimelle saadaan välittömästi karkea arvio:

missä m ja M ovat joitakin kokonaislukuja.

Kaavan (2) avulla on helppo todistaa induktiivisesti, että

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhtälöiden (i) ja (v) todistamiseksi sovelletaan osamäärätestiä ja käytetään edellä esitettyä kaavaa osoittamaan, että kun ei ole ei-negatiivinen kokonais­luku, kompleksi­tasossa sen kiekon säde, jossa sarja suppenee, on tasan  1. Kohta (ii) seuraa yhtälöstä (5) vertaamalla p-sarjaan

missä . Kohdan (iii) todistamiseksi käytetään ensin kaavaa (3), josta saadaan

minkä jälkeen käytetään tulosta (ii) ja jälleen kaavaa (5) sen todistamiseksi, että yhtälön oikealla puolella oleva sadja suppenee, kun oletetaan, että . Toisaalta sarja ei suppene, jos ja , mikä sekin seuraa kaavasta (5). Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että kaikilla arvoilla pätee: . Niinpä kaavasta (6) seuraa, että kaikilla arvoilla on . Kohta (iii) on näin todistettu. Kohdan (iv) todistamiseksi käytetään yllä olevaa identiteettiä (7) ja sijoittamalla siihen ja :n paikalle in place of . Kaavan (4) avulla saadaan tällöin:

kun . Tulos (iv) seuraa nyt sarjan asymptootti­sesta käyttäytymisestä. (Tarkemmin sanottuna selvästikin suppenee kohti arvoa , jos , ja hajaantuu kohti arvoa jos . Jos , niin suppenee, jos ja vain jos sarja suppenee , mikä selvästikin pätee, jos , mutta ei jos . Jälkimmäisessä tapauksessa lukujono on tiheä , koska hajaantuu ja suppenee kohti nollaa).

Binomisarjan summaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Binomisarjan summaus voidaan suorittaa seuraavasti. Differentioimalla binomi­sarja termeittäin suppenemis­kiekossa |x| < 1 ja käyttämällä kaavaa (1) todetaan, että sarjan summa on analyyttinen funktio, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön (1 + x)u'(x) = αu(x) alkuarvolla u(0) = 1. Ainoa tällainen funktio on u(x) = (1 + x)α, joka siis on binomi­sarjan summa ainakin arvoilla |x| < 1. Yhtä­suuruus pätee myös, kun |x| = 1, mikäli sarja suppenee, mikä seuraa Abelin lauseesta ja funktion (1 + x)α jatkuvuudesta.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäiset tulokset, jotka koskevat binomisarjan suppenemista, kun eksponentti ei ole ei-negatiivinen kokonaisluku, esitti Isaac Newton tutkitessaan eräiden käyrien alle jääneiden alueiden pinta-aloja.[3] Newtonin tuloksiin perustuen John Wallis käsitteli muotoa y = (1 − x2)m olevia lausekkeita, missä m on murtoluku. Nykyisellä terminologialla ilmaistuna hänen tuloksensa osoittaa, että funktiolla −x2)k on sarjakehitelmä, jonka kertoimet ck saadaan kertomalla edellinen kerroin luvulla , samoin kuin kokonais­luku­eksponenttienkin tapauksessa, ja täten hän sai muodostetuksi näille kertoimille im­pli­siit­ti­sen lausekkeen. Seuraaville erikois­tapauksille hän johti myös eks­pli­siit­ti­set lausekkeet:[4]

Binomisarjaa koskevaa tulosta sanotaan sen vuoksi joskus Newtonin binomilauseeksi. Newton ei kuitenkaan esittänyt todistusta, mutta hän totesi sen pätevän useissa käsittelemissään erikoistapauksissa. Myöhemmn Niels Henrik Abel käsitteli asiaa eräässä muistiossaan ja kiinnitti erityistä huomiota siihen, milloin sarja suppenee.

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Binomial series

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2, s. 137–139. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0994-0.
  2. Risto Silvennoinen: ”Binomisarja”, Laaja matematiikka 2, s. 45. Tampereen yliopisto, 2005. 7303045. Teoksen verkkoversio.
  3. Newton ja Leibniz: Binomisarja Matematiikkalehti Solmu. Viitattu 16.4.2020.
  4. J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. (Tässä lähteessä kaikilla vakiotermeillä on negatiivinen etumerkki, mikä toisessa yhtälössä on virhe; todennäköisesti kyseessä on jäljennösvirhe) The American Mathematical Monthly, 1949, 56. vsk, nro 3, s. 147–157. Artikkelin verkkoversio.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]