Osamäärätesti

Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L. Matemaattisesti ilmaistuna

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L.$

Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:

• jos $L<1\!$, niin sarja suppenee.
• jos $L>1\!$, niin sarja hajaantuu.
• jos $L=1\!$, niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.

Esimerkkejä

Suppeneva

Tutkitaan sarjan

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1+{\frac {1}{n}})\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.$

Koska raja-arvo $L={\frac {1}{e}}$ on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.

Hajaantuva

Tutkitaan sarjan

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}$

suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|=1\cdot e=\!\,e>1.$

Koska $L=e\approx 2{,}718\dots$ on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.

Testi ei kerro suppenemisesta

Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1,$

niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.

Esimerkiksi sarja

$\sum _{n=1}^{\infty }1$

hajaantuu, mutta

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.$

Sarja

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

puolestaan suppenee itseisesti, mutta

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.$

Sarja

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$

suppenee ehdollisesti, mutta

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.$

Katso myös

• Vertailuperiaate
• Juuritesti
• Integraalitesti

Kirjallisuutta

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3