Sarja (matematiikka)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki
Voidaan päätellä, että 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + ... = 0{,}333... = \frac{1}{3}.
Tämän sarjan osasummien jonolla
(0{,}3; 0{,}3 + 0{,}03; 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003;...) = (0{,}3; 0{,}33; 0{,}333; ...)\!
on raja-arvo \frac{1}{3}.
Esimerkki
Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista
identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.
Näin on todettu, että
 1 = {1\over2} + {1\over4} + {1\over8} + {1\over16} + ...

Sarjan \sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_1+a_2+...+a_n+... osasummia ovat
S_1=a_1
S_2=a_1+a_2
S_3=a_1+a_2+a_3
...
S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n
...

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
S=\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k.

  • Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
  • Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Aritmeettinen ja geometrinen sarja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja \sum_{}^{} x_n on aritmeettinen, jos lukujono x_n on muotoa (x_1 + (n - 1)d) eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio d.

Sarja \sum_{}^{} x_n on geometrinen, jos lukujono x_n on muotoa (x_1 q^{n-1}) eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio q.

Kaavoja ja sääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Sarja \sum_{k=1}^{\infty} a_k hajaantuu, jos
    • \lim_{k \to \infty} a_k \ne 0 tai
    • \lim_{k \to \infty} a_k ei ole olemassa.
  2. Vuorotteleva sarja (-1)^n \sum_{k=1}^{\infty} a_k eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
    • \lim_{k \to \infty} a_k = 0
  3. Aliharmoninen sarja \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}, 0<p<1 hajaantuu.
  4. Harmoninen sarja \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} hajaantuu.
  5. Yliharmoninen sarja \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}, p>1 suppenee.
  6. Geometrinen sarja \sum_{k=1}^{\infty} a_1 q^{k-1} suppenee, kun |q|<1 tai a_1=0.
    • Tällöin \sum_{k=1}^{\infty} a_1 q^{k-1}=\frac{a_1}{1-q}.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritetään sarjan \sum_{k=0}^{\infty} \frac{9}{2^k} summa.

Osasumma S_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{9}{2^k}=9\sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k
Summa on geometrinen summa; a_1=1, q=\frac{1}{2}, termejä n+1.
S_n=9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}.

\lim_{n \to \infty} S_n=\lim_{n \to \infty} 9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}
=9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{\infty}}{\frac{1}{2}}=9\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}=18

Sarjakehitelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.