Suppeneva sarja

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja suppenee, jos sen osasummien jono suppenee, ts. jos s.e. . Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lause 1.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos suppenee, niin

Lause 2.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suppenevalle sarjalle erotusta

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suppenevalle sarjalle

Lause 4.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja , sekä , niin

Lause 5.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos sarja suppenee ja sarja hajaantuu, niin summasarja hajaantuu. Jos molemmat sarjat ja hajaantuvat, niin niiden summasarja voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja suppenee kohti s.e.

kaikilla aina kun

Itseisesti suppeneva sarja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

sarja suppenee itseisesti, jos sarja suppenee.

Lause 7.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos suppenee, niin suppenee. Tällöin sarjoille pätee

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2