Geometrinen sarja

Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.

Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa, jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a, sarjan n:s termi on muotoa aq^n-1. Tällöin sarjaa merkitään

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}...$$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}...$

Sarja suppenee, kun −1 < q < 1, ja tällöin sen summaksi saadaan

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}.$$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}.$

Osasummille on voimassa

$\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}},$$\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}},$ kun $q\neq 1.$$q\neq 1.$

$\sum _{k=m}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {q^{m}-q^{n}}{1-q}},$$\sum _{k=m}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {q^{m}-q^{n}}{1-q}},$ kun $q\neq 1.$$q\neq 1.$

Todistus osasumman kaavalle:

Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti: aq⁰ + aq¹ + aq² + ... + aq^n-1

Merkitään osasummaa seuraavasti S =: aq⁰ + aq¹ + aq² + ... + aq^n-1 ⇒

qS = aq¹ + aq² + aq³ + ... + aqⁿ ⇒

S - qS = a - aqⁿ ⇒

S = a * (1 - qⁿ)/(1 - q)

Katso myös

• Aritmeettinen sarja