Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.
Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa , jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio . Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a , sarjan n :s termi on aqn-1 . Tällöin sarjaa merkitään
∑
k
=
0
∞
a
q
k
=
a
q
0
+
a
q
1
+
a
q
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots }
[1]
suppenee , kun −1 < q < 1 , ja tällöin sen summaksi saadaan
∑
k
=
0
∞
a
q
k
=
a
1
−
q
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}.}
Osasummille on voimassa[2]
∑
k
=
0
n
−
1
a
q
k
=
a
⋅
1
−
q
n
1
−
q
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}},}
q
≠
1.
{\displaystyle q\neq 1.}
∑
k
=
m
n
−
1
a
q
k
=
a
⋅
q
m
−
q
n
1
−
q
,
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {q^{m}-q^{n}}{1-q}},}
q
≠
1.
{\displaystyle q\neq 1.}
Todistus osasumman kaavalle:
Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti:
a
q
0
+
a
q
1
+
a
q
2
+
⋯
+
a
q
n
−
1
{\displaystyle aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}}
Merkitään osasummaa seuraavasti
S
=:
a
q
0
+
a
q
1
+
a
q
2
+
⋯
+
a
q
n
−
1
⇒
{\displaystyle S=:aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}\Rightarrow }
q
S
=
a
q
1
+
a
q
2
+
a
q
3
+
⋯
+
a
q
n
⇒
{\displaystyle qS=aq^{1}+aq^{2}+aq^{3}+\cdots +aq^{n}\Rightarrow }
S
−
q
S
=
a
−
a
q
n
⇒
{\displaystyle S-qS=a-aq^{n}\Rightarrow }
S
=
a
1
−
q
n
1
−
q
{\displaystyle S=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}
↑ Adams, Robert A.: ”9.2. Infinite Series”, Calculus: A Complete Course , s. 480. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos. ↑ Adams, Robert A.: ”9.2. Infinite Series”, Calculus: A Complete Course , s. 481. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
