Aritmeettinen sarja

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on , jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on , jossa vakioerotus on −0,5).

Aritmeettisen sarjan summa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen raja-arvo , eli sarjat hajaantuvat.

Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • n:s termi: , missä d = peräkkäisten termien erotus
  • Ensimmäisten n termin summa:

Todistus 1: Geometrisesti Sn on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on an ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan .
Todistus 2: Kirjoitetaan Sn kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):
Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:
.

Aritmeettisen sarjan summalle kaikilla :n arvoilla pätee:[1]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet
  1. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, Tehtävä 6, s. 12. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]