Vuorotteleva sarja

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa

oleva sarja, missä jokaisella

Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien

muodostama jono suppenee.

Leibnizin kriteerio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.

Lause: Sarja

jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis

Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan termit kaksittain

niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun

Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme

Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen

Yhtälöstä

seuraa edelleen, että

oli summausindeksi mikä hyvänsä. Lopulta, koska oletimme ehdon olevan voimassa, saamme

Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa . [1] Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono suppenee ja

Sarjan summan arvioiminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vuorottelevan sarjan summaa voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia . Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä

ja näin saadaan virhetermille arvio

Itseisesti suppeneva sarja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja on itseisesti suppeneva, jos sarja suppenee.

Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.

Todistus: Oletetaan, että sarja suppenee itseisesti. Tällöin sarjat ja suppenevat.

Koska epäyhtälöt

ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja suppenee.

Näin ollen suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä

Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.[2]

Ehdollinen suppeneminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja

suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja hajaantuu.

Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.

Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:

jolloin päädyttäisiin tulokseen

mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Lindelöf, Ernst (1967). Johdatus korkeampaan analyysiin. Porvoo: Werner Söderström osakeyhtiö, 200. 
  2. Myrberg, Lauri (1975). Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2. Tampere: Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 46. ISBN 951-26-0994-0.