Mercatorin projektio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Mercatorin projektio
Mercatorin projektiossa Tissot'n indikaattorit säilyttävät muotonsa, mutta kasvavat voimakkaasti mitä kauempana kohde päiväntasaajalta sijaitsee.

Mercatorin projektio on flaamilaisen kartografin Gerhardus Mercatorin vuonna 1569 esittelemä, lieriöprojektioiden ryhmään kuuluva karttaprojektio. Se on oikeakulmainen projektio, joten se on käyttökelpoinen erityisesti navigoinnissa. Projektiossa pituus- ja leveyspiirit kuvautuvat yhdensuuntaisina suorina siten, että pituuspiirien etäisyys toisistaan on vakio ja leveyspiirien etäisyys toisistaan kasvaa napoja kohti kuljettaessa. Keskeinen piirre Mercatorin projektiossa on että leveyspiirien välit venyvät täsmälleen sellaisessa suhteessa, että leveys- ja pituussuuntaiset mittakaavat säilyvät samana. Mittakaava kasvaa siirryttäessa päiväntasaajalta kohti napoja, jolloin napojen lähellä olevat alueet näkyvät kartalla huomattavasti suurempina kuin vastaavan kokoiset alueet päiväntasaajalla. Vääristymistä kuvaavat Tissot'n indikaattorit säilyvät vääristymättöminä, mutta kasvavat päiväntasaajalta poispäin.

Ei ole tiedossa, miten Mercator on karttaprojektion luonut. Projektion matemaattiseen konstruoimiseen tarvittavat menetelmät on kehitetty vasta myöhemmin.

Projektion konstruktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkoissa kartoissa käytetään maapallon kuvaamiseen ellipsoidia. Ellipsoidilla projektion periaate on sama kuin pallopinnalla, mutta yhtälöt ovat monimutkaisempia. Approksimoidaan esimerkin vuoksi maapallo palloksi, jonka säde on R. Mercatorin projektion keskeinen piirre on, että leveys- ja pituussuuntainen mittakaava on jokaisessa pisteessä täsmälleen sama. Jos kartan länsi-itäsuuntainen mittakaava päiväntasaajalla on k, leveyspiirillä \phi se on \frac{k}{\cos(\phi)}. Jotta mittakaava olisi sama myös etelä-pohjoissuunnassa, täytyy projisoidussa pisteessä etäisyyden derivaatan päiväntasaajalta olla sama kuin länsi-itäsuuntainen mittakaava. Projisoidun pisteen pystykoordinaatti voidaan ilmaista differentiaaliyhtälönä y'=\frac{R}{\cos(\phi)}. Integroimalla differentiaaliyhtälö saadaan ratkaisu


\begin{align}
y = \frac {R} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin(\phi)}{1 - \sin(\phi)} \right) \qquad \mbox{tai} \qquad
y = R \ln \left[ \tan \left( \frac {\pi}{4} + \frac {\phi}{2} \right) \right]\\
\end{align}

Vaakasuunnassa projektiopiste kartalla määräytyy yksinkertaisesti pituuspiirin mukaan


\begin{align}
x = R( \lambda - \lambda_0)
\end{align}
,

jossa \lambda_0 on keskimeridiaani ja erotus (\lambda -\lambda_0) ilmaistaan radiaaneina.

Mercatorin projektio on matemaattisesti määritetty, eikä sille ole luonnollista vastinetta. Projisoitu kuva ei ole sama kuin minkä valaistu karttapallo muodostaa valkokankaalle, joka on kääritty lieriöksi karttapallon ympärille. Tällaisessa luonnollisessa projektiossa piste projisoituu kartalle pystysuunnassa yhtälön y = R( \tan(\phi)) mukaan. Mercatorin projektiossa viiva joka yhdistää pisteen pallon pinnalta projektiopisteeseen ei leikkaa pallopintaa kohtisuorassa, eikä tällaiset viivat eri leveysasteilta kohtaa samassa "polttopisteessä", toisin kuin luonnollisessa projektiossa. Vaikka molemmissa projektioissa navat kuvautuvat äärettömyyteen, niin luonnollisessa projektiossa äärettömyyttä lähestytään nopeammin, jolloin muodot venyvät pystysuunnassa kiihtyvällä voimakkuudella napoja lähestyttäessä. Mercatorin projektiossa mittakaava säilyy jokaisessa pisteessä samana molempiin suuntiin, eikä venymistä yhteen suuntaan tapahdu.

Melko yleisesti tässä projektiossa laaditut maailmankartat on katkaistu alareunassa 60. eteläisen, mutta yläreunassa vasta 80. pohjoisen leveyspiirin kohdalta, jolloin Etelämanner jää kokonaan kartan ulkopuolelle, mutta pohjoisessa kartta ulottuu Huippuvuorille saakka. Näin tehtäessä Eurooppa sijoittuu kartassa jokseenkin keskelle.

Usgs map mercator.svg

Mittakaavavirhe[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todellisuudessa leveyspiirit ovat sitä lyhyempiä, mitä lähempänä napoja ne sijaitsevat ja pituuspiirit yhtyvät navoilla. Siten kartan mittakaava kasvaa länsi-itä-suunnassa napoja kohti. Jotta kulmat pysyisivät oikeansuuruisina, myös pohjois-eteläsuuntaista mittakaavaa kasvaa napoja kohti samassa suhteessa. Tästä seuraa, että kaukana päiväntasaajasta sijaitsevat alueet näkyvät Mercatorin projektion mukaan tehdyssä kartassa suhteettoman suurina verrattuna samansuuruisiin päiväntasaajan seudulla sijaitseviin alueisiin. Esimerkiksi Grönlanti näyttää suunnilleen Afrikan kokoiselta, vaikka todellisuudessa sen pinta-ala on alle 10 % Afrikan pinta-alasta. Myös Eurooppa näyttää Mercatorin kartassa suunnilleen Afrikan kokoiselta, vaikka todellisuudessa Euroopan pinta-ala on noin kolmasosa Afrikasta.

Mittakaavavirhe kasvaa nopeasti lähellä napaa. Esimerkiksi leveysasteella 70 mittakaava on noin 46 % suurempi kuin leveysasteella 60. Jos esimerkiksi Suomen alue kuvataan Mercator-projektiossa, Lappi näyttää pinta-alaltaan noin kaksinkertaiselta todellisuuteen nähden.

Suomi kuvattuna Mercator-projektiossa (vasemmalla) ja Gauss-Krüger-projektiossa (oikealla). Leveys- ja pituusasteruudukko piirretty asteen välein.

Merenkulussa muuttuvaa mittakaavaa ei yleensä pidetä merkittävänä ongelmana: Suurimittakaavaisilla kartoilla seikan merkitys on mitätön ja pienimittakaavaisilla kartoilla mittauksiin käytetään merikarttoihin yleensä painettavaa mittakaavan muuttumisen kartan alueella osoittavaa leveyasteikkoa.

Karttapohjoinen ja napapohjoinen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska Mercatorin projektiossa pituusasteet ovat kaikki yhdensuuntaisia ja osoittavat karttapohjoiseen, karttapohjoinen ja napapohjoinen yhtyvät koko kartan alueella ja siten napaluvunkorjaus on koko kartalla nolla.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merenkulussa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mercatorin projektio on erityisen käyttökelpoinen merenkulussa, mikä selittää sen saavuttaman suosion. Siinä leveys- ja pituuspiirit ovat suoria ja kartta on oikeakulmainen, eli ilmansuuntien väliset kulmat ovat kaikkialla todellisuuden mukaisia.[1] Erityisen tärkeää on, että muuttumatonta kurssia kulkevan aluksen kulkema reitti on kartalla suora. Maanpinnan loksodromit kuvautuvat siis suoriksi.[1]

Isoympyränavigointiin projektio ei sovellu hyvin: Kartalla isoympyrä kuvautuu kaarena ja napojen kohdalla projektio on määrittelemätön. Tämän takia projektion merkitys lentoliikenteessä on pienempi kuin meriliikenteessä.

Kahden pisteen välinen isoympyrä (vihreä) ja loksodromi (punainen). Isoympyräreitin pituus noin 6810 km ja loksodromireitin noin 7030 km

Käyttö maailmankartoissa ja sen arvostelu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaikka Mercatorin projektiossa eri leveysasteilla alueiden pinta-alojen suhteet ovat hyvin virheelliset, se on aikoinaan ollut maailmankartoissa ehkä yleisimmin käytetty projektio, mitä tosin on paljon ja usein ankarastikin arvosteltu.[2][3][4][5][6][7] Yleisyytensä vuoksi sen on arveltu suuressa määrin vaikuttaneen ihmisten käsitykseen maailmasta,[8] ja koska päiväntasaajan lähellä olevat maat näyttävät siinä liian pieniltä suhteessa Euroopan ja Pohjois-Amerikan maihin, sen on arveltu osaltaan saaneen ihmiset pitämään näitä maita vähemmän tärkeinä. [9]

Kysymys eri karttaprojektioiden paremmuudesta sai osakseen suurta julkista huomiota varsinkin sen jälkeen, kun Arno Peters vuonna 1973 oli julkaissut laatimansa karttaprojektion, Petersin projektion (joka todellisuudessa kuitenkin oli sama, jonka James Gall oli esittänyt jo yli sata vuotta aikaisemmin.)[9] Peters esitti sen paremmaksi vaihtoehdoksi nimenomaan Mercatorin projektiolle, jota hän piti rasistisenakin.[9] Kuitenkin Mercatorin projektion käyttö maailmankartoissa oli jo sitä ennen ollut pitkään vähenemässä.[9]. Nykyisin maantieteilijät eivät suosittele niissä käytettäviksi mitään sellaista projektiota, jossa leveys- ja pituuspiirit näkyvät suorina ja maailmankartta on suorakulmion muotoinen.[8]

Web Mercator[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monet verkossa toimivat, paikallisia katukarttoja tarjoavat palvelut, muun muassa Bing Maps, OpenStreetMap, Google Maps, [10], MapQuest, Yahoo Maps, käyttävät kartoissaan Mercatorin projektion muunnosta joka tunnetaan nimellä Web Mercator, jonka perustana on maailmanlaajuinen geodeettinen järjestelmä WBS 84.[11] Jos tällaisessa kartassa näytettäisiin kerralla laaja osa maapalloa, sen eri osissa kartalla olisi eri mittakaava. Kun kartassa kuitenkin näytetään kerrallaan vain pieni alue, tämän alueen sisällä sen mittakaava ei sanottavasti vaihtele, ja samoin kuin merenkulussa, on projektion etuna tässäkin tapauksessa sen oikeakulmaisuus eli että ilmansuunnat ja niiden väliset kulmat näkyvät oikein.

Tällaiset karttapalvelut perustuvat tietokoneelle tallennettuihin karttohin, joiden koordinaatisto käsittää suurimman osan koko maan pinnasta, mutta josta näytetään kerrallaan vain pieni alue, jonka laajuutta voidaan säätää zoomamalla. Napojen välittömässä läheisyydessä projektio ei kuitenkaan ole käyttökelpoinen edes pienialaisiin karttoihin, koska siellä leveyspiirit kaareutuvat selvästi jo muutaman kilometrin matkalla ja koska itse navat kuvautuvat Mercatorin projektiossa äärettömän kauas. Web Mercatorissa käytetyn suorakulmaisen koordinaatiston pohjois- ja etelärajoina ovat suunnilleen 85. leveyspiirit[12] (tarkemmin leveyspiirit 85,05113°) [13] Nämä leveyspiirit on valittu rajoiksi, koska Mercatorin projektion mukainen maailmankartta, jonka pohjois- ja eteläreunoina olisivat juuri ne, olisi neliön muotoinen ja samoin on tuloksena saadun koordinaatiston laita.[12]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Otavan iso Fokus, 3. osa (Ip-Kp), s. 1671, art. Kartta. Otava, 1973. ISBN 951-1-00051-9.
  2. Hinks, Arthur R. (1912). Map Projections p. 29. London: Cambridge University Press.
  3. Steers, J.A. (1927). An Introduction to the Study of Map Projections 9. painos, s. 154. Lontoo: The University of London Press.
  4. Kellaway, G.P. (1946). Map Projections s. 37–38. London: Methuen & Co. LTD. (Mainitsee, että Mercatorin projektiota oli väitetty käytettävän "imperialististista vaikuttimista")
  5. Abelson, C.E. (1954). Common Map Projections s. 4. Sevenoaks: W.H. Smith & Sons.
  6. Chamberlin, Wellman (1947). The Round Earth on Flat Paper s. 99. Washington, D.C.: The National Geographic Society.
  7. Fisher, Irving (1943). "A World Map on a Regular Icosahedron by Gnomonic Projection." Geographical Review 33 (4): 605.
  8. a b Mercator Projection vs. Peters Projection, osa 2 about.com. Viitattu 15.10.2012.
  9. a b c d Mercator Projection vs. Peters Projection, osa 1 about.com. Viitattu 15.10.2012.
  10. What type of map projection does Google use for Google Maps Google. Viitattu 10.2.2016.
  11. Implementation Practice, Web Mercator Map Projection Viitattu 10.2.2016.
  12. a b Google Maps JavaScript Api Google. Viitattu 10.2.2016.
  13. Kun tämä leveysaste sijoitetaan Mercatorin projektion matemaattiseeen lauseekkeeseen, saadaan ln tan (85,05113°/2 + 45°) ≈ π.