Fourier'n muunnos

Fourier'n muunnos on matematiikassa käytetty jatkuva integraalimuunnos. Muunnosta käytetään erityisesti analyysissä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ja signaalinkäsittelyssä erilaisiin taajuusanalyysiä vaativiin sovelluksiin. Muunnos perustuu teoreemaan, jonka mukaan mikä tahansa jatkuva riittävän säännöllinen funktio voidaan esittää sinimuotoisten funktioiden integraalina. Fourier'n muunnoksella voidaan laskea näiden sinimuotoisten komponenttien amplitudi ja vaihe.

Määritelmä

Funktion $f(x)\,$ Fourier'n muunnos $\hat f(\omega)$ määritellään

$\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x}\, dx$,

missä $\omega\,$ on kulmataajuus. Muoto $e^{-i\omega x}\$ liittyy trigonometrisiin funktioihin siten, että kompleksieksponentin määritelmä on $e^{a + ib} = e^{a}(\cos b + i \sin b)\$.

Fourier'n muunnokselle on olemassa käänteismuunnos, joka määritelmän mukaiselle funktiolle on

$f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\omega) e^{i\omega x}\, d \omega$.

Funktion $f(x)\,$ Fourier'n muunnoksesta voidaan käyttää myös vaihtoehtoista merkintätapaa $\mathcal{F}\{f(x)\} = \hat f(x)$. Tätä merkintää käytetään esimerkiksi differentiaalianalyysissä, jolloin halutaan selventää Fourier'n muunnoksen käyttäminen jonkin muun integraalimuunnoksen sijasta. Kirjallisuudessa esiintyy usein myös eri tavoin normalisoituja variaatioita muunnoksesta. Fourier-muunnettu funktio voidaan ajatella alkuperäisen funktion esityksenä taajuustasossa. Fourier-muunnetun funktion taajuuskomponenttia $\omega\,$ vastaava amplitudi on

$A(\omega) = | \hat f (\omega) |$

ja vaihe

$\phi(\omega) = \operatorname{arg} (\hat f(\omega))$.

Amplitudispektri antaa vaihespektriä enemmän tietoa- nähdään kaikki taajuuskomponentit ja niitä vastaavat määrät.

Fourier'n muunnoksen ominaisuuksia

Olkoon $f(x)\,$, $g(x)\,$ ja $h(x)\,$ integroituvia funktioita ja näitä vastaavat Fourier'n muunnokset $\hat{f}(\xi)$, $\hat{g}(\xi)$ ja $\hat{h}(\xi)$. Fourier'n muunnoksella on seuraavat ominaisuudet .

• Lineaarisuus

Kaikille kompleksiluvuille a ja b pätee, että jos $h(x) = a f(x) + b g(x)\$, niin $\hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi)\$.

• Siirto aikatasossa

Kaikille reaaliluvuille $x_0\,$ pätee, että jos h(x) = ƒ(x − x₀), niin $\hat{h}(\xi)= e^{-2\pi i x_0\xi }\hat{f}(\xi)\$.

• Modulointi aikatasossa

Kaikille reaaliluvuille $\xi_0$ pätee, että jos $h(x) = e^{2 \pi i x \xi_0} f(x)\$, niin $\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0})\$.

• Aikatason kääntö

Jos $h(x) = f(-x)\$, niin $\hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi)\$.

• Aikatason skaalaus

Kaikille ei-negatiivisille reaaliluvuille $a$ pätee, että jos $h(x) = f(a x)\$, niin $\hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)\$. Kun $a = -1\$, niin ominaisuus palautuu aikatason käännöksi.

• Konjugaatio

Jos $h(x)=\overline{f(x)}\$, niin $\hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}\$.

• Konvoluutio

Jos $h(x)=\left(f*g\right)(x)\$, niin $\hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi)\$.

• Ominaisfunktiot

Fourier'n muunnoksen ominaisfunktioita ovat Hermiten funktiot. T.s. näiden funktioiden Fourier'n muunnos on funktio itse, ominaisarvolla kerrottuna.

Diskreetti Fourier'n muunnos

Diskreetti Fourier'n muunnos eli DFT on Fourier'n muutoksen diskreettiaikainen yleistys. Siinä signaali ajatellaan sarjaksi, jolloin se voidaan esittää äärellisenä Fourier'n sarjana ja integraali korvautuu summalausekkeella:

$F_n =\sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-2\pi ink/N} \quad , n = 0, ... ,N-1$

missä $f_k\,$ on $N\,$:n pituinen reaali- tai kompleksiarvoinen sarja.

Vastaava käänteismuunnos on

$f_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} F_n e^{2\pi ink/N}$.

FFT

Pääartikkeli: Nopea Fourier'n muunnos

FFT (Fast Fourier Transform) eli nopea Fourier'n muunnos tarkoittaa tehokasta algoritmia diskreetin Fourier'n muunnoksen ja sen käänteismuunnoksen laskemiseksi. Yleisin FFT on Cooleyn–Tukeyn algoritmi, jonka tunsi jo C.F Gauss vuonna 1805 ja käytti sitä Pallas ja Juno -asteroidien ratojen laskentaan. Työ ei ollut kovin tunnettu. Erilaisia rajoitettuja versioita kehitettiin 1800-luvulla ja 1900-luvun alkupuolella. Nykyisen maineensa FFT saavutti vuonna 1965, jolloin Cooley IBM:stä ja Tukey Princetonista osoittivat työssään algoritmin soveltuvuuden tietokoneohjelmointiin.

Jos diskreetti Fourier'n muunnos laskettaisiin suoraan määritelmästä, tarvittavien laskentaoperaatioiden määrä olisi verrannollinen näytepisteiden määrän neliöön eli $N^2\,$. Sen sijaan FFT algoritmien laskennallinen kompleksisuus on luokkaa $O(N \, \operatorname{log} \, N\,)$. FFT:n nopeusero verrattuna suoraan diskreetin muunnoksen määritelmästä laskemiseen muuttuu hyvin merkittäväksi, kun näytepisteiden määrä on suuri. Käytännön sovelluksissa Fourier'n muunnos lasketaan lähes aina numeerisesti FFT:n avulla.

Käytännön sovelluksia

FFT:tä käytetään hyväksi tekniikan ja fysiikan sovelluksissa, jotka perustuvat ilmiöiden jaksollisuuden tai spektrin mittaamiseen. Tärkeitä FFT:n sovelluksia ovat esimerkiksi spektrianalyysi ja OFDM tietoliikennetekniikassa sekä kuvan rekonstruktio magneettikuvauksessa.

MP3-äänenpakkausmenetelmässä äänen spektri, eli äänisignaalin taajuustasoesitys, lasketaan käyttäen FFT:tä (muunnettu DCT) ja spektri pakataan (häviöllisesti) jättämällä pois spektrikomponentit, joiden energia on pieni. Spektriksi hajottamisesta on se etu, että eri taajuisille äänille voidaan käyttää eri tarkkuutta. Ihmisen kuulo erottaa tietyt taajuudet tarkemmin, jolloin ne voidaan pakata vähemmällä häviöllä. Purku tapahtuu käänteismuuntamalla eli syntetisoimalla spektri takaisin aikatasoon.

Terästeollisuudessa voidaan, tutkimalla valssatun nauhan paksuusprofiilia FFT:llä, löytää epäkeskeisesti hiotut valssit tai kuluneet laakerit. Laakereiden kunnon seurantajärjestemät perustuvat usein FFT:hen.

Fourier'n muunnoksen ominaisuutta modulaatio aikatasossa käytetään siirtämään signaalia taajuustasossa. Radiotekniikassa lähetettävä tai vastaanotettu signaali siiretään halutulle taajuusalueelle moduloimalla signaalia sekoitusasteessa paikallisoskillaattorin signaalilla. Myös moduloimalla esimerkiksi yksittäistä sinimuotoista signaalia aikatasossa, sen värähtelytaajuutta voidaan kasvattaa tai pienentää. Tätä ominaisuutta käytetään hyväksi äänenkäsittelyssä yksittäisen äänen sävelkorkeuden korjaamiseksi^lähde?. Modulointitekniikalla tuotettu sävelkorkeuden korjaus ei nopeuta tai hidasta ääniraitaa kuten alkuperäisen ääniraidan suora skaalaaminen. Toisaalta, jos se kohdistetaan samalla kertaa useampaan eritaajuiseen signaaliin, niiden taajuussuhteet muuttuvat.