Konvoluutio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion f \ ja g \ välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion f*g \ . Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t- \tau) g(\tau) d \tau

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau.

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

(f*g)(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f(k) g(n-k)}.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

(f*g)(n) = \sum_{k|n, k>0} {f(k) g(n/k)}\,.

Konvoluution ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

  • Assosiatiivisuus
(h*f)*g = h*(f*g)\,
  • Distributiivisuus
h*(f+g) = h*f + h*g\,
  • Kommutatiivisuus
f*g = g*f\,
  • Skalaarimonikerta
a(f*g) = (af)*g = f*(ag)\, ,\quad a \in \mathbb{R}
D(f*g) = Df * g = f * Dg\,

Konvoluutioteoreema[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

\mathcal{F}\{f(x)*g(x)\} = F(\omega) G(\omega),

missä F(\omega)\ ja G(\omega)\ ovat funktioiden f(x)\ ja g(x)\ Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.