Konvoluutio

Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion $f \$ ja $g \$ välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion $f*g \$. Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Määritelmä

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t- \tau) g(\tau) d \tau$

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau.$

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

$(f*g)(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f(k) g(n-k)}$.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

$(f*g)(n) = \sum_{k|n, k>0} {f(k) g(n/k)}\,.$

Konvoluution ominaisuuksia

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

• Assosiatiivisuus

$(h*f)*g = h*(f*g)\,$

• Distributiivisuus

$h*(f+g) = h*f + h*g\,$

• Kommutatiivisuus

$f*g = g*f\,$

• Skalaarimonikerta

$a(f*g) = (af)*g = f*(ag)\, ,\quad a \in \mathbb{R}$

• Konvoluution derivaatta

$D(f*g) = Df * g = f * Dg\,$

Konvoluutioteoreema

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

$\mathcal{F}\{f(x)*g(x)\} = F(\omega) G(\omega)$,

missä $F(\omega)\$ ja $G(\omega)\$ ovat funktioiden $f(x)\$ ja $g(x)\$ Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.