Fourier'n muunnos

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Fourier'n muunnos on matematiikassa käytetty jatkuva integraalimuunnos. Muunnosta käytetään erityisesti analyysissä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ja signaalinkäsittelyssä erilaisiin taajuusanalyysiä vaativiin sovelluksiin. Muunnos perustuu oletukseen, että mikä tahansa jatkuva riittävän säännöllinen funktio voidaan esittää siniaaltoisten funktioiden integraalina ja diskreettiarvoinen funktio vastaavasti näiden summana. Fourier'n muunnoksesta voidaan päätellä näiden sinimuotoisten komponenttien amplitudi ja vaihe.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Määritelmä

Funktion f(x)\, Fourier'n muunnos [1] \hat f(\omega) määritellään

\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x}\, dx ,

missä \omega\, on kulmataajuus. Muoto e − iωx liittyy trigonometrisiin funktioihin siten, että kompleksieksponentin määritelmä on ea + ib = ea(cosb + isinb).

Fourier'n muunnokselle on olemassa käänteismuunnos, joka määritelmän mukaiselle funktiolle on

f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\omega) e^{i\omega x}\, d \omega .

Funktion f(x)\, Fourier'n muunnoksesta voidaan käyttää myös vaihtoehtoista merkintätapaa \mathcal{F}\{f(x)\} = \hat f(x). Tätä merkintää käytetään esimerkiksi differentiaalianalyysissä, jolloin halutaan selventää Fourier'n muunnoksen käyttäminen jonkin muun integraalimuunnoksen sijasta. Kirjallisuudessa esiintyy usein myös eri tavoin normalisoituja variaatioita muunnoksesta. Fourier-muunnettu funktio voidaan ajatella alkuperäisen funktion esityksenä taajuustasossa. Fourier-muunnetun funktion taajuuskomponenttia \omega\, vastaava amplitudi on

A(\omega) = | \hat f (\omega) |

ja vaihe

\phi(\omega) = \operatorname{arg} (\hat f(\omega)).

[muokkaa] Fourier'n muunnoksen ominaisuuksia

Olkoon f(x)\,, g(x)\, ja h(x)\, integroituvia funktioita ja näitä vastaavat Fourier'n muunnokset \hat{f}(\xi), \hat{g}(\xi) ja \hat{h}(\xi). Fourier'n muunnoksella on seuraavat ominaisuudet [2].

  • Lineaarisuus
Kaikille kompleksiluvuille a ja b pätee, että jos h(x) = af(x) + bg(x), niin \hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi).
  • Siirto aikatasossa
Kaikille reaaliluvuille x_0\, pätee, että jos h(x) = ƒ(x − x0), niin \hat{h}(\xi)= e^{-2\pi i x_0\xi }\hat{f}(\xi).
  • Modulointi aikatasossa
Kaikille reaaliluvuille ξ0 pätee, että jos h(x) = e^{2 \pi i x_0 \xi} f(x), niin \hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0}).
  • Aikatason kääntö
Jos h(x) = f( − x), niin \hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi).
  • Aikatason skaalaus
Kaikille ei-negatiivisille reaaliluvuille a pätee, että jos h(x) = f(ax), niin \hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right). Kun a = − 1, niin ominaisuus palautuu aikatason käännöksi.
  • Konjugaatio
Jos h(x)=\overline{f(x)}, niin \hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.
Jos h(x)=\left(f*g\right)(x), niin \hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi).
  • Ominaisfunktiot
Fourier'n muunnoksen ominaisfunktioita ovat Hermiten funktiot. T.s. näiden funktioiden Fourier'n muunnos on funktio itse, ominaisarvolla kerrottuna.

[muokkaa] Sini- ja kosinimuunnos

Usein, erityisesti käytännön sovelluksissa, on tarpeen käsitellä pelkästään reaaliarvoisia lukuja. Tällöin Eulerin kaavan avulla nähdään, että Fourier'n muunnos koostuu sekä reaalisesta että imaginaarisesta osasta. Niitä voidaan tarkastella omina muunnoksinaan:

  • sinimuunnos
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \sin (\omega x)\, f(x) dx ,
  • kosinimuunnos
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\omega x)\, f(x) dx .


[muokkaa] Diskreetti Fourier'n muunnos

Diskreetti Fourier'n muunnos eli DFT on Fourier'n muutoksen diskreettiaikainen yleistys. Siinä signaali ajatellaan sarjaksi, jolloin se voidaan esittää äärellisenä Fourier'n sarjana ja integraali korvautuu summalausekkeeksi:

F_n =\sum_{k=0}^{N-1} f_k e^{-2\pi ink/N} \quad , n = 0, ... ,N-1

missä f_k\, on N\,:n pituinen reaali- tai kompleksiarvoinen sarja.

Vastaava käänteismuunnos on

f_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} F_n e^{2\pi ink/N}.

[muokkaa] FFT

FFT (Fast Fourier Transform) eli nopea Fourier'n muunnos on algoritmi DFT:n laskemiseksi nopeasti ja tehokkaasti. Jos DFT laskettaisiin suoraan määritelmästä, tarvittavien laskentaoperaatioiden määrä olisi verrannollinen näytepisteiden määrän neliöön N^2\,. On kuitenkin olemassa joukko optimoituja algoritmeja, joilla DFT voidaan laskea hyvin tehokkaasti. Näistä algoritmeista käytetään nimitystä FFT. FFT algoritmien laskennallinen kompleksisuus on luokkaa O(N \, \operatorname{log} \, N\,). FFT:n nopeusero verrattuna suoraan DFT:n määritelmästä laskemiseen on hyvin merkittävä kun näytepisteiden määrä on suuri. Käytännön sovelluksissa Fourier'n muunnos lasketaan aina numeerisesti FFT:n avulla.

[muokkaa] Käytännön sovelluksia

FFT:tä käytetään hyväksi tekniikan ja fysiikan sovelluksissa, jotka perustuvat ilmiöiden jaksollisuuden tai spektrin mittaamiseen. Tärkeitä FFT:n sovelluksia ovat esimerkiksi spektrianalyysi ja OFDM tietoliikennetekniikassa sekä kuvan rekonstruktio magneettikuvauksessa.

MP3-äänenpakkausmenetelmässä äänen spektri, eli äänisignaalin taajuustasoesitys, lasketaan käyttäen FFT:tä (muunnettu DCT) ja spektri pakataan (häviöllisesti) jättämällä pois spektrikomponentit, joiden energia on pieni. Spektriksi hajottamisesta on se etu, että eri taajuisille äänille voidaan käyttää eri tarkkuutta. Ihmisen kuulo erottaa tietyt taajuudet tarkemmin, jolloin ne voidaan pakata vähemmällä häviöllä. Purku tapahtuu käänteismuuntamalla eli syntetisoimalla spektri takaisin aikatasoon.

Tutkimalla valssatun nauhan paksuusprofiilia FFT:llä voidaan löytää epäkeskeisesti hiotut valssit tai kuluneet laakerit. Laakereiden kunnon seurantajärjestemät perustuvat usein FFT:hen.

Fourier'n muunnoksen ominaisuutta modulaatio aikatasossa käytetään siirtämään signaalia taajuustasossa. Radiotekniikassa lähetettävä tai vastaanotettu signaali siiretään halutulle taajuusalueelle moduloimalla signaalia sekoitusasteessa paikallisoskillattorin signaalilla. Myös moduloimalla esimerkiksi yksittäistä sinimuotoista signaalia aikatasossa, sen värähtelytaajuutta voidaan kasvattaa tai pienentää. Tätä ominaisuutta käytetään hyväksi äänenkäsittelyssä yksittäisen äänen sävelkorkeuden korjaamiseksilähde?. Modulointitekniikalla tuotettu sävelkorkeuden korjaus ei nopeuta tai hidasta ääniraitaa kuten alkuperäisen ääniraidan suora skaalaaminen. Toisaalta, jos se kohdistetaan samalla kertaa useampaan eritaajuiseen signaaliin, niiden taajuussuhteet muuttuvat.

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Viitteet

  1. ↑ Kreyszig, Erwin: Advanced engineering mathematics, s. 570. 8. painos. John Wiley & Sons, 1999. ISBN 0-471-15496-2. (englanniksi)
  2. ↑ Pinsky, Mark: Introduction to Fourier Analysis and Wavelets. Brooks/Cole, 2002. ISBN 0-534-37660-6. (englanniksi)
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Fourier%27n_muunnos
Henkilökohtaiset työkalut