Dirichlet'n konvoluutio

Dirichlet'n konvoluutio eli Dirichlet'n tulo on lukuteoreettisille funktioille määritelty matemaattinen operaatio. Operaatio muistuttaa lukujen kertolaskua, mutta lukujen sijaan operoidaan funktioilla. Laskemalla kahden lukuteoreettisen funktion konvoluutio saadaan tulokseksi kolmas lukuteoreettinen funktio. Dirichlet'n konvoluutio on siis samantyyppinen operaatio kuin muutkin konvoluutiot.

Matemaattinen määritelmä

Olkoon $f$ ja $g$ kaksi lukuteoreettista funktiota, jotka on siis määritelty vain positiivisille kokonaisluvuille. Olkoon $n$ mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Dirichlet'n konvoluutio $f*g$ määritellään seuraavasti:

$(f*g)(n) = \sum_{d|n, d>0} {f(d) g(n/d)}\,.$

Tässä $d|n$ merkitsee, että $n$ on jaollinen $d$:llä. Dirichlet'n konvoluutiossa siis lasketaan yhteen kaikki sellaiset termit, joissa kerrotaan keskenään $f$ ja $g$ sellaisilla arvoilla, joiden tulo on $n$.

Ominaisuuksia

Dirichlet'n konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet:

• assosiatiivisuus: $f*(g*h)=(f*g)*h\,\!$

• kommutatiivisuus: $f*g=g*f\,\!$

• distributiivisuus: $f*(g+h)=f*g+f*h\,\!$

• lukuteoreettisella funktiolla $f$ on käänteisalkio $f^{-1}$ Dirichlet'n konvoluution suhteen silloin ja vain silloin, kun $f(1) \ne 0$.

Esimerkkejä

• Esimerkki 1. Määritellään lukuteoreettinen funktio $E_0$ seuraavasti:

$E_0(n) = \left\{ \begin{matrix} 1, & kun & n = 1, \\ 0, & kun & n > 1. \end{matrix} \right.$

Nyt funktion $E_0$ ja minkä tahansa lukuteoreettisen funktion $f$ konvoluutioksi saadaan funktio $f:$

$\begin{align} (E_0*f)(n) & = \sum_{d|n, d>0} {E_0(d) f(n/d)}\, \\ & = E_0(1)f(n) + \sum_{d|n, d>1} {E_0(d) f(n/d)}\, \\ & = 1 \cdot f(n) + \sum_{d|n, d>1} {0 \cdot f(n/d)}\, \\ & = f(n) + 0 = f(n). \\ \end{align}$

• Esimerkki 2. Määritellään lukuteoreettiset funktiot $f$ ja $g$ seuraavasti:

$f(n)=n\,\!$

$g(n)=n^2.\,\!$

Lasketaan näiden konvoluution arvo, kun $n=10$:

$\begin{align} (f*g)(10) & = \sum_{d|10, d>0} {f(d) g(10/d)}\, \\ & = f(1) \cdot g(10) + f(2) \cdot g(5) + f(5) \cdot g(2) + f(10) \cdot g(1) \\ & = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 2^2 + 10 \cdot 1^2 \\ & = 100 + 50 + 20 + 10 = 180. \\ \end{align}$

Konvoluution arvo voidaan laskea myös toisella tavalla:

$\begin{align} (f*g)(10) & = \sum_{d|10, d>0} {f(d) g(10/d)}\, \\ & = \sum_{d|10, d>0} {d \cdot (\frac{10}{d})^2}\, = \sum_{d|10, d>0} {\frac{100}{d}}\, \\ & = \frac{100}{1} + \frac{100}{2} + \frac{100}{5} + \frac{100}{10} \\ & = 100 + 50 + 20 + 10 = 180. \\ \end{align}$

Lähteet

• Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.