RLC-piiri

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Sarjaan kytketty RLC-piiri on esimerkki yksinkertaisesta RLC-piiristä. Kuvassa sarjaankytkettyinä ovat vasemmalla vastus, keskellä pyöreä toroidikäämi ja oikealla kondensaattori.

RLC-piiri (R, L ja C voivat olla nimessä myös eri järjestyksissä) on virtapiiri, jossa on vastus (R, resistanssi), käämi (L, induktanssi) ja kondensaattori (C, kapasitanssi). RLC-piireissä jännite ja sähkövirta riippuvat niiden taajuudesta.[1][2][3][4] Tämän vuoksi niitä voidaan käyttää sähkötekniikassa ja elektroniikassa esimerkiksi värähtely- eli virityspiireissä ja suodattimissa.

RLC-piireihin liittyviä termejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Resonanssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Resonanssi

RLC-piirit ovat pakotettuja harmonisia värähtelijöitä, eli niiden jännite ja sähkövirta värähtelevät samalla taajuudella kuin piiriin kytketyn sähkölähteen (esimerkiksi generaattori) taajuus.[5] Kondensaattorin ''vaihtovirtavastus'', eli kapasitiivinen reaktanssi on kääntäen verrannollinen jännitteen tai virran muutoksen kulmataajuuteen

,[6][7][8]

kun taas käämin vastaava suure, induktiivinen reaktanssi, on suoraan verrannollinen samaan kulmataajuuteen:

.[9][10][11]

Näin ollen kondensaattori ja käämi vastustavat vaihtovirran kulkua eri tavoilla eri kulmataajuuksilla: pienillä kulmataajuuksilla (jännite ja virta muuttuvat hitaasti) kondensaattori vastustaa virran kulkua paljon ja vastaavasti suurilla kulmataajuuksilla (jännite ja virta muuttuvat nopeasti) käämi vastustaa virran kulkua paljon. Vastuksen resistanssi ei juurikaan[Huom. 1] riippu kulmataajuudesta, joten resistanssin vaikutus sähkövirran suuruuteen on sen suhteen vakio. Piiristä riippuvalla tietyllä kulmataajuudella piirin impedanssi siis saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa. Tätä kulmataajuutta vastaavaa taajuutta

sanotaan ko. piirin resonanssitaajuudeksi.[12][13][14][15] Sekä sarjaan- että rinnankytkettyjen RLC-piirien resonanssikulmataajuus on

,[12][13][14][15][16]

missä

on käämin induktanssi ja
on kondensaattorin kapasitanssi.

Kaistanleveys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaistanleveys kertoo niiden taajuuksien erotuksen, joiden välissä sarjaresonanssipiirin keskimääräinen teho on vähintään puolet resonanssitaajuudella saavutettavasta maksimitehosta. Tehon puolittuminen vastaa sähkövirran huippuarvon pienentymistä tekijällä .

Piirissä kuluva pätöteho riippuu sähkövirran suuruudesta, joka puolestaan riippuu sähkövirran taajuudesta. Piirin keskimääräinen pätöteho on

,[17]

missä

on vaihtojännitteen huippuarvo ja
on piirin resistanssi.

Sarjaresonanssipiirissä pätöteho on maksimissaan, kun piiri värähtelee resonanssissa. Resonanssitaajuudella , jolloin piirin pätöteho saavuttaa maksimiarvonsa. Tietyllä resonanssitaajuutta pienemmällä ja suuremmalla taajuudella piirin teho puolittuu resonanssitilanteesta. Ts. on olemassa kulmataajuusalue siten, että

,

kun . Desibeliasteikolla tehon puolittuminen tarkoittaa sitä, että tehon muutos on −3 dB.[18] Rajakulmataajuuksien erotusta sanotaan piirin kaistanleveydeksi:

.[17][18]

Kaistanleveys voidaan laskea kulmataajuuksien sijaan myös taajuuksilla, sillä :

.

Toisinaan on tarpeen määritellä myös suhteellinen kaistanleveys, joka on kaistanleveyden ja resonanssikulmataajuuden tai -taajuuden suhde:

tai .[18]

Hyvyysluku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Hyvyysluku

RLC-piirin hyvyysluku kertoo piiriin varastoituneen energian ja yhden jakson aikana hyödyntämättömään muotoon (mm. lämmöksi) muuttuvan energian suhteesta.[17][19] Hyvyysluku on piirin induktiivisen reaktanssin ja resistanssin suhde resonanssissa:

.[17][20][19]

Hyvyysluku kertoo piirin käyttäytymisestä resonanssitaajuuden ympäristössä: mitä suurempi hyvyysluku on, sen kapeampi piirin taajuuskaista on. Kaistanleveyttä voidaan siis pienentää kasvattamalla piirin resistanssia.[17][20] Pienillä taajuuksilla tämä on kuitenkin käytännössä mahdotonta, sillä rautasydämisenkin käämin induktanssi−resistanssi-suhde on luokkaa 0,05 henryä per ohmi. Näin ollen käytännössä

.[17]

Hyvyysluku on piirin suhteellisen kaistanleveyden käänteisluku:

.[17][18]

Sarjaan kytketty RLC-piiri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Värähtelypiiri
Vaihtojännitelähteen kanssa sarjaan kytketty RLC-piiri

RLC-piiri voidaan toteuttaa esimerkiksi siten, että vastus, käämi ja kondensaattori on kytketty peräkkäin sarjaan. Tällöin Kirchhoffin virtalain mukaisesti kaikkien komponenttien läpi kulkee sama sähkövirta. Piirin aikariippuvuutta kuvaa tällöin differentiaaliyhtälö

,[21]

missä

on jännitteen hetkellinen arvo,
on sähkövirran hetkellinen arvo ja
on kondensaattorin hetkellinen sähkövaraus.

Tästä differentiaaliyhtälöstä voidaan ratkaista piirin hetkellinen sähkövirta ajan funktiona:

,

missä on jännitteen huippuarvo ja

Sarjaan kytketyn RLC-piirin resistanssi , kapasitiivinen reaktanssi , induktiivinen reaktanssi ja impedanssi jännitelähteen kulmataajuuden funktiona. Resonanssitaajuudella piirin impedanssi on pienimmillään.

on piirin sähkövirran ja jännitteen välinen vaihe-ero.[21] Sarjaan kytketyn RLC-piirin impedanssi voidaan ilmoittaa joko kompleksilukuna

[12][21]

tai itseisarvonsa avulla

.[12][22]

Kun sähkövirran taajuus on sama kuin piirin resonanssitaajuus,

,

kutsutaan piiriä sarjaresonanssiksi.[15][16][21] Resonanssissa käämin ja kondensaattorin jännitteet ovat yhtä suuret, mutta ne ovat vastakkaisissa vaiheissa, joten ne kumoavat toisensa. Näin ollen sarjaresonanssipiirin impedanssi koostuu puhtaasti resistanssista () ja sähkövirta saavuttaa maksimiarvonsa:

.[14][16][21]

Rinnan kytketty RLC-piiri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Värähtelypiiri

Toinen verrattain yksinkertainen RLC-piiri on piiri, jossa vastus, käämi ja kondensaattori on kytketty vierekkäin eli rinnan (ks. kuva Kytkentä A)[15][23] tai jossa pelkästään käämi ja kondensaattori ovat rinnan ja vastus näiden kanssa sarjassa (ks. kuva Kytkentä B)[13]. Resonanssitaajuudella näitä kumpaakin piiriä kutsutaan rinnakkaisresonanssiksi.[13][15][23]

Vastus, käämi ja kondensaattori rinnan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kytkentä A: Vaihtojännitelähteen kanssa rinnan kytketyt vastus, käämi ja kondensaattori

Kytkentää, jossa vastus, käämi ja kondensaattori ovat kaikki rinnan jännitelähteen kanssa, kutsutaan myös GLC-piiriksi,[24] missä G tarkoittaa vastuksen konduktanssia

Kytkennän A resistanssi, kapasitiivinen reaktanssi, induktiivinen reaktanssi ja impedanssi jännitelähteen kulmataajuuden funktiona. Resonanssikulmataajuudella piirin impedanssi on suurimmillaan.

.

Rinnan kytketyn RLC-piirin impedanssille pätee

,

mutta sarjakytkennälle analogisten yhtälöiden saavuttamiseksi voidaan käyttää admittanssia ja konduktanssia:

.[23]

Impedanssi itseisarvona on tällöin

.

Kun sähkövirran taajuus on sama kuin piirin resonanssitaajuus,

,

ovat käämin ja kondensaattorin läpi kulkevat sähkövirrat yhtä suuret, mutta vastakkaisissa vaiheissa. Tällöin rinnakkaisresonanssipiirin impedanssi koostuu puhtaasti resistanssista () ja sähkövirta saavuttaa minimiarvonsa:

.[15]

Käämi ja kondensaattori rinnan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kytkentä B: Vaihtojännitelähteen kanssa sarjaan kytketty vastus ja näiden kanssa rinnan kytketyt käämi ja kondensaattori

Kytkentä, jossa käämi ja kondensaattori ovat rinnan ja vastus näiden kanssa sarjassa jännitelähteen kanssa, on myös värähtelypiiri, jolla havaitaan resonanssi-ilmiö.[13] Tämän kytkennän impedanssi on

.[13]

Itseisarvona impedanssi on tällöin

.

Kun sähkövirran taajuus on sama kuin piirin resonanssitaajuus,

,

Kytkennän B resistanssi, kapasitiivinen reaktanssi, induktiivinen reaktanssi ja impedanssi jännitelähteen kulmataajuuden funktiona. Resonanssikulmataajuudella piirin impedanssi lähestyy ääretöntä.

kasvaa impedanssi äärettömän suureksi (). Tällöin rinnakkaisresonanssipiirin sähkövirta saavuttaa minimiarvonsa, joka on nolla.[13]

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaistanpäästösuodatin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

RLC-piiri kaistanpäästösuodattimena: Kun vaihtojännitteen taajuus sisääntulossa (in) on lähellä piirin resonanssitaajuutta, on piirin impedanssi pienimmillään. Muun taajuuden signaalit suodattuvat sitä tehokkaammin, mitä kauempana ne ovat resonanssitaajuudesta.

Kaistanpäästösuodatin tai -suodin on elektroninen suodatin, jonka tehtävänä on päästää lävitseen tietyn taajuusalueen sähköiset signaalit ja heikentää tämän taajuusalueen ulkopuolisia signaaleja. Tämä voidaan toteuttaa esimerkiksi sarjaresonanssipiirillä, jonka komponentit valitaan siten, että piirin resonanssitaajuus on sama kuin haluttu suodatetun signaalin taajuus.[24] Kaistanleveys on valittava siten, että päästettävä signaali mahtuu suodattimen taajuuskaistaan.

Kaistanestosuodin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

RLC-piiri kaistanestosuodattimena: Kun vaihtojännitteen taajuus sisääntulossa (in) on lähellä piirin resonanssitaajuutta, on piirin impedanssi suurimmillaan. Muun taajuuden signaalit pääsevät läpi sitä tehokkaammin, mitä kauempana ne ovat resonanssitaajuudesta.

Kaistanestosuodatin tai -suodin on elektroninen suodatin, jonka tehtävänä on estää tietyn taajuusalueen sähköiset signaalit ja vahvistaa tämän taajuusalueen ulkopuolisia signaaleja. Tämä voidaan toteuttaa esimerkiksi rinnakkaisresonanssipiirillä, jonka komponentit valitaan siten, että piirin resonanssitaajuus on sama kuin haluttu estettävän signaalin taajuus.[24] Kaistanleveys on valittava siten, että estettävä signaali mahtuu suodattimen taajuuskaistaan.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]


Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähdeviitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Brophy, James J.: ”AC-Circuit Analysis”, Basic Electronics for Scientists. 5. painos. Singapore: McGraw-Hill, 1990. ISBN 0-07-100675-3. (englanniksi)
  2. Grant, I. S. & Phillips, W. R.: ”Alternating currents and transients”, Electromagnetism. 2. painos. John Wiley & Sons, Ltd, 1990. ISBN 978-0-471-92711-9. (englanniksi)
  3. Knight, Randall D.: ”AC Circuits”, Physics for Scientists and Engineers, A Strategic Approach with Modern Physics. 3. painos. Pearson, 2014. ISBN 978-1-292-02078-5. (englanniksi)
  4. Ahoranta, Jukka: ”Vaihtosähköpiirit”, Sähkötekniikka. 14., uudistettu painos. Helsinki: Sanoma Pro, 2015. ISBN 978-952-63-1570-6.
  5. Knight, s. 1158
  6. Brophy, s. 38
  7. Knight, s. 1161
  8. Ahoranta, s. 138
  9. Brophy, s. 41
  10. Knight, s. 1165
  11. Ahoranta, s. 143
  12. a b c d Grant & Phillips, s. 268−269
  13. a b c d e f g Brophy, s. 139−142
  14. a b c Knight, s. 1168
  15. a b c d e f Ahoranta, s. 163−165, 170−175
  16. a b c Tarkka, Pentti & Hietalahti, Lauri: Piirianalyysi 2, s. 180, 190. 2. tarkistettu painos. Helsinki: Edita Publishing Oy, 2006. ISBN 951-37-3926-0.
  17. a b c d e f g Grant & Phillips, s. 270−273
  18. a b c d Tarkka & Hietalahti, s. 185−189
  19. a b Tarkka & Hietalahti, s. 184−185, 194
  20. a b Brophy, s. 145
  21. a b c d e Brophy, s. 137−139
  22. Knight, s. 1167
  23. a b c Tarkka & Hietalahti, s. 189−193
  24. a b c Tarkka & Hietalahti, s. 199−202

Huomautukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Suurilla taajuuksilla johteilla havaitaan nk. pintaefekti, joka aiheuttaa johteen resistanssin kasvun varauksenkuljettajien siirtyessä johteen pinnoille. [Grant & Phillips, s. 390]