Kirchhoffin piirilait

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee Kirchhoffin piirilakeja. Termin Kirchhoffin lait muita merkityksiä on erillisellä täsmennyssivulla.

Kirchhoffin piirilait kertovat, miten sähkövarauksen ja energian säilyvyyslakeja voidaan soveltaa virtapiirien suunnitteluun. Gustav Kirchhoff esitteli ne vuonna 1845. Niitä käytetään laajalti sähkötekniikassa ja ne tunnetaan myös Kirchhoffin sääntöinä tai lakeina.

Molemmat piirilait voidaan nykyisin johtaa suoraan Maxwellin yhtälöistä. Kirchhoff edelsi kuitenkin Maxwellia. Lakinsa hän johti Georg Ohmin tutkimustuloksista.

Kirchhoffin piirilakeja on kaksi: virta- ja jännitelaki. Kummatkin niistä pätevät sekä vaihto- että tasavirtapiirille.[1]

Kirchhoffin virtalaki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

KCL.png
i1 + i4 = i2 + i3

Tätä lakia kutsutaan myös nimillä Kirchhoffin ensimmäinen laki, Kirchhoffin pistesääntö, Kirchhoffin liitossääntö ja Kirchhoffin ensimmäinen sääntö. Säännön mukaan sähkövirtaa ei tule mihinkään pisteeseen enempää, kuin sieltä poistuu.

Täten missä tahansa sähköjohtimen liitoskohdassa toteutuu[2]

\Sigma I = 0,

eli pisteeseen tulleiden ja siitä poistuvien virtojen summa on nolla.

Varaustiheyden muuttuminen ajan suhteen merkitsee systeemin nettovarauksen muuttumista, mitä ei voi yleensä tapahtua kovin suuressa määrin johtuen elektrostaattisen voiman suuruudesta: varauksen kertymä aiheuttaa hyljeksivää voimaa, joka hajaannuttaa varauksen.

Edellisestä riippumatta, varauksen kertymistä voi tapahtua kondensaattorissa, joka on tavallisesti kahden toisistaan eristetyn johtavan levyn (folion) systeemi. Tällaisessa tapauksessa toiseen johdelevyyn virtaavien varausten summa ei ole nolla, vaan se vastaa varauskertymänopeutta. Kun tämä siirtymävirta d\mathbf{J}/dt otetaan huomioon, Kirchhoffin virtalaki pitää jälleen paikkansa. (Tämän korjauksen soveltaminen on tarpeen vain, mikäili tätä lakia halutaan soveltaa kondensaattorin sisällä. Tavallisessa piirianalyysissä kondensaattoria käsitellään yksikkönä, jonka nettovaraus on aina nolla, eli kondensaattorin toisesta navasta menee joka hetki saman verran virtaa sisään, kuin toisesta tulee ulos.)

Teknisemmin käsitellen, Kirchhoffin virtalaki saadaan ottamalla divergenssi Amperen lain Maxwellin korjaamasta versiosta ja yhdistämällä siihen Gaussin laki:

\nabla \cdot \mathbf{J} = -\nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}.

Tämä on yksinkertaisesti varauksen säilymisen yhtälö, joka integraalimuodossaan kertoo, että suljetusta pinnasta ulos virtaava virta vastaa pinnan sisäpuolisen varauksen pienenemisnopeutta. Kirchhoffin virtalaki on ekvivalentti lauseelle: virran divergenssi on nolla aikariippumattomalle \rho\,:lle, tai jos siirtymävirta sisältyy \mathbf{J}\,:iin.

Kirchhoffin jännitelaki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

KVL.png
v1 + v2 + v3 + v4 = 0

Tämä laki tunnetaan myös nimillä Kirchhoffin toinen laki, Kirchhoffin silmukkasääntö ja Kirchhoffin toinen sääntö.

Energian säilyvyyden periaatteesta seuraa:

Suunnatusti yhteenlaskettujen potentiaalierojen summan virtapiirin ympäri pitää olla nolla.[1]

Eli jokaiselle suljetulle silmukalle on toteuduttava[2]

\Sigma V = 0.

Muussa tapauksessa olisi mahdollista rakentaa ikiliikkuja, joka kuljettaisi virtaa piirin ympäri.

Kirchhoffin jännitelaki ei aina päde. Suljetun virtapiirin läpi kulkeva, muuttuva magneettikenttä saa aikaan nimittäin sen, että potentiaalin polkuintegraali pisteestä A pisteeseen A ei ole nolla. Toisin sanoen energia siirtyy magneettikentästä sähkövirraksi (tai toisin päin). Kirchhoffin jännitelain "korjaus" tähän tapaukseen tarvitsee tehollisen potentiaalin aleneman (sähkömotorisen voiman, SMV, englanniksi: EMF), joka liitetään piirin induktanssiin ollen täsmälleen sen suuruinen kuin mitä Faradayn induktiolaki kertoo sähkökentän viivaintegraalin poikkeavan nollasta.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Elektroniikkarakentelijan kirja

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b I. S. Grant & W. R. Phillips: ”8.1.1”, Electromagnetism, 2. painos, s. 283. Wiley, 2003. ISBN 0-471-92712-0. (englanniksi)
  2. a b Young & Freedman: ”26.2”, University Physics with Modern Physics, 11. painos, s. 986-987. Pearson, 2004. ISBN 0-321-20469-7. (englanniksi)

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]