Harmoninen värähtelijä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee klassista harmonista värähtelijää. Harmoninen värähtelijä voi tarkoittaa myös kvanttimekaanista harmonista värähtelijää.
Jousi-massasysteemi värähtelee sinimuotoisesti.

Harmoninen värähtelijä on fysiikassa järjestelmä, jossa kappaleeseen vaikuttaa harmoninen voima. Harmonisessa värähtelijässä voiman suuruus on suoraan verrannollinen kappaleen etäisyyteen tasapainoasemasta:

missä

  • on kappaleeseen kohdistunut voima,
  • on vakio (esimerkiksi jousille jousivakio, joka ilmaisee jousen jäykkyyttä),
  • ja poikkeama tasapainoasemasta.

Harmoninen voima suuntautuu aina kohti tasapainoasemaa, sillä voimasta aiheutuva kiihtyvyys on jatkuvasti kohti tasapainoasemaa. Heiluri ja jousen päässä värähtelevä punnus ovat hyviä esimerkkejä harmonisesta värähtelijästä.

Jos F on ainoa systeemiin vaikuttava voima, kutsutaan systeemiä silloin vaimentumattomaksi tai ideaaliseksi harmoniseksi värähtelijäksi. Tällaisella värähtelijällä on vakioamplitudi ja –taajuus, joka ei riipu amplitudista. Värähtely on tällöin sinimuotoista.

Jos systeemiin vaikuttaa nopeuteen verrannollinen voima (kitkavoima), kutsutaan värähtelijää silloin vaimennetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Systeemillä on tällöin mahdollisuus käyttäytyä eri tavoin riippuen kitkakertoimen arvosta.

Jos systeemiin vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva voima (ns. pakkovoima), kutsutaan värähtelijää silloin pakotetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Pakkovoima tuo systeemiin uutta energiaa, joka voi estää vaimennetun harmonisen värähtelijän amplitudin pienenemisen ajan kuluessa.

Vaimenematon harmoninen värähtelijä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kitkaton jousi-massasysteemi on vaimenematon harmoninen värähtelijä.

Vaimentumattomaan harmoniseen värähtelijään ei vaikuta kitka- eikä pakkovoimaa, jolloin systeemiin vaikuttava voima on muotoa:

Newtonin 2. laki:

Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta

Jos määritellään , voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon:

jonka yleinen ratkaisu on

Amplitudi A ja vaihe määritetään alkuehdosta.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa:

missä on siirtynyt verran.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa

missä and ovat vakioita, jotka voidaan määrittää alkuehdosta.

Värähtelyn taajuudeksi saadaan:

Värähtelyn nopeudeksi v ja kiihtyvyydeksi a saadaan

ja

Värähtelijän kineettinen energia on

ja potentiaalienergia

Värähtelijän potentiaalienergia on siis suoraan verrannollinen tasa­paino­pisteestä mitatun etäisyyden neliöön.

Värähtelijän potentiaali- ja kineettinen energia muuttuvat jatkuvasti toisikseen, mutta niiden summa on vakio:

Pakotettu harmoninen värähtelijä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pakkovoima Fd on voima joka tuo systeemiin energiaa. Matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on, kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Kun kitkavoimaa eli vaimennusta ei oteta huomioon ja , on systeemin liikeyhtälö muotoa

missä F0 on pakkovoiman amplitudi ja on pakkovoiman värähtelyn taajuus. Yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa

kun siis . Jos tarkastellaan tapausta, jossa , ylimmän kaavan yksittäisratkaisuksi saadaan

josta huomataan, että värähtely kasvaa ajan t kuluessa. Tämä on matemaattinen selitys resonanssi-ilmiölle. Jos on hyvin lähellä arvoa , mutta ei aivan sama, saadaan ratkaisuksi

Kun on hyvin pieni eli pakkovoiman taajuus eroaa vain vähän värähtelijän ominaistaajuudesta, on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri. Tämä ilmenee huojumisena. Tätä muusikot käyttävät hyväksi virittäessään soittimiaan.


Vaimennettu harmoninen värähtelijä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaimennettu jousi-massasysteemi.
Systeemin käyttäytyminen riippuu vaimennuskertoimesta .

Käytännössä värähtelevään systeemiin vaikuttaa aina liikettä vastustavia kitkavoimia, joiden vaikutuksesta värähtely vaimenee ajan funktiona. Värähtelevän jousen asema noudattaa toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä

missä c on vaimennuskerroin. Yhtälöllä on kolme eri ratkaisua, riippuen vaimennuskertoimen c arvosta. Merkitään ja .

Ylivaimennus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos vaimennuskerroin on niin suuri, että , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

josta huomataan, että mitään heilahtelua ei tapahdu, sillä molemmat eksponentit ovat negatiivisia, koska a, b > 0 ja b < a. Tällöin molemmat termit lähestyvät nollaa, kun . Heilahtelun rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 korkeintaan kerran.

Alivaimennus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos vaimennuskerroin on niin pieni, että , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

jolloin syntyy vaimeneva värähdysliike, joka lähenee koko ajan tasapainoasemaa x = 0.

Kriittinen vaimennus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos vaimennuskerroin on , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

Tämän värähtelyn muoto on hyvin samanlainen kuin ylivaimennetunkin. Mitään heilahtelua ei synny ja rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 tasan kerran ja , kun .

Vaimennettu ja pakotettu harmoninen värähtelijä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Massa m on kytketty jouseen ja vaimennukseen, jonka vaimennuskerroin on B ja F on ulkoinen pakkovoima.


Jos halutaan estää vaimennetun värähtelijän amplitudin pieneneminen ajan kuluessa on systeemiin tuotava energiaa ulkoisella pakkovoimalla Fd. Kuten aikaisemmin kerrottiin, matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Vaimennetun ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on

jonka ratkaisu muodostuu vaimennetun värähtelijän ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälöiden ratkaisujen summasta. Kuten aikaisemmin osoitettiin, vaimennetun värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu riippuu alkuehdoista. Epähomogeenisen liikeyhtälön yksittäisratkaisu taas ei riipu alkuehdoista, jolloin ratkaisuksi saadaan

missä

ja

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • M.L Boas: Mathematical Methods in the Physical Sciences, s. 297. United States: John Wiley & Sons, 1983. ISBN 0-471-04409-1. en
  • G.R Fowles G.L Cassiday: Analytical Mechanics sixth edition, s. 69. United States: Brooks/Cole Pub Co, 1998. ISBN 0-03-022317-2. en
  • H.D. Young, R.A. Freedman, T.R. Sandin, A.L. Ford: Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics, s. 392. United States: Addison Wesley Publishing Company, 2000. ISBN 0-201-60336-5. en

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]