Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kvanttimekaanisen harmonisen värähtelijän aaltofunktio energiatasoilla n=0 - n=20. Todennäköisyystiheys on suurimmillaan valkoisilla alueilla ja pienimmillään mustilla alueilla.

Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä on kvanttimekaaninen systeemi, jonka potentiaalienergia on suoraan verrannollinen tasapainoasemasta mitatun etäisyyden neliöön. Tässä suhteessa se on analoginen klassiselle harmoniselle värähtelijälle. Lähellä tasapainoasemaa mielivaltaisen muotoinen potentiaali voidaan approksimoida harmoniseksi värähtelijäksi. [1] Tätä ominaisuutta kvanttimekaanisten potentiaalien käsittelemisessä tarvitaankin.

1-ulotteinen värähtelijä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Klassinen harmoninen värähtelijä kuvaa voimaa \scriptstyle F=-kx, missä \scriptstyle k on vakio ja \scriptstyle x poikkeama tasapainoasemasta. Merkitään nyt \scriptstyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, missä \scriptstyle \omega on kulmanopeus ja \scriptstyle m massa, niin saadaan potentiaaliksi \scriptstyle V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2. [2]

Ominaisenergia ja ominaistila[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvanttimekaanisessa tapauksessa lasketaan hiukkasen ominaisenergia ja ominaistila ratkaisemalla Schrödingerin yhtälö edellä saadulle potentiaalille. Hamiltonin funktio on nyt

H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2
~H= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2,

missä ensimmäinen termi kuvastaa potentiaalikuopassa olevan hiukkasen liike-energiaa ja jälkimmäinen potentiaalienergiaa. Itse Schrödingerin yhtälö on

H|\Psi> = E|\Psi>  \,\!.

Yllä oleva yhtälö on mahdollista ratkaista analyyttisesti (ratkaisua ei tehdä tässä). Ratkaisusta saadaan stationaarisille tiloille tulos [3]

\Psi_n(x) = \Big( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \Big)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^nn!}} H_n \Big( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \Big),

missä siis \scriptstyle n = 1,~2,~3.. kertoo, mones energiataso on kyseessä. Hiukkasen ominaisenergia saa kvantittuneet arvot [4]

E_n = \Big( n+\frac{1}{2} \Big) \hbar\omega.

Energian kvantittuminen tarkoittaa, että energia voi saada vain tiettyjä diskreettejä arvoja. Esimerkiksi perustilallaan (n=0) ominaisenergia saa arvon \scriptstyle E=\frac{1}{2}\hbar\omega.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Walter Greiner: ”7”, Quantum Mechanics An Introduction, 4. painos, s. 157. Springer. ISBN 3-540-67458-6. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)
  2. David J. Griffths: ”2.3”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos, s. 40. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)
  3. David J. Griffths: ”2.3.2”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos, s. 56. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)
  4. Quantum Harmonic Oscillator (html) HyperPhysics. (englanniksi)